ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С КОНТРАСТНЫМИ СТРУКТУРАМИ - Кузнецов, Евгений Борисович; Леонов, Сергей Сергеевич; Тархов, Дмитрий Альбертович; Цапко, Екатерина Дмитриевна; Бабинцева, Анастасия Андреевна (Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2018)
В статье исследуются особенности численного решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами (внутренними пограничными слоями). Подобные задачи возникают при моделировании некоторых задач гидродинамики, химической кинетики, теории горения, вычислительной геометрии. Аналитическое решение задач с контрастными структурами удается найти только в исключительных случаях. Численное решение также затруднительно, что связано с плохой обусловленностью уравнений в окрестностях внутренних и пограничных слоев. Для достижения приемлемой точности численного решения необходимо значительно уменьшать шаг интегрирования, что приводит к возрастанию вычислительной сложности. На примере одной тестовой задачи с двумя пограничными и одним внутренним слоями показаны недостатки использования традиционных явных методов Эйлера и Рунге-Кутты 4 порядка точности, а также неявного метода Эйлера с постоянным и переменным шагами интегрирования. Для устранения вычислительных недостатков традиционных методов предложено два подхода. В качестве первого подхода применяется метод наилучшей параметризации, смысл которого состоит в переходе к новому аргументу, отсчитываемому по касательной вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи Коши. Этот метод позволяет получить наилучшим образом обусловленную задачу Коши и устранить вычислительные трудности, возникающие в окрестности внутренних и пограничных слоев. Вторым подходом является полуаналитический способ решения задачи Коши, разрабатываемый в работах А. Н. Васильева, Д. А. Тархова, их учеников и последователей. Данный подход позволяет получить многослойное функциональное решение, которое можно рассматривать как своего рода нелинейную асимптотику. Применительно к решению задач с контрастными структурами полуаналитический метод позволяет получать решение приемлемой точности, даже при высокой жесткости. Проводится анализ используемых методов. Полученные результаты сравниваются с аналитическим решением выбранной тестовой задачи, а также с результатами, представленными в работах других авторов.