Сингулярное разложение пространственных матриц - Iljin, Pavel Leonidovich; Samoilova, Tatiana Arkadyevna (Современные информационные технологии и ИТ-образование; Том 18 № 3 (2022): Современные информационные технологии и ИТ-образованиеDO - 10.25559/SITITO.18.202203.578-588, 2022)
Сингулярное разложение матриц – базовый строительный блок, используемый в решениях многих прикладных задач. В случаях, когда размерность задачи превышает два, прибегают к обобщениям сингулярного разложения – тензорным разложениям. Однако, разложения тензоров не всегда хорошо работают. Именно поэтому в данной статье предложено рассмотреть естественное обобщение алгоритма сингулярного разложения плоских матриц на пространственные матрицы. Перечислены задачи, успешно решенные с помощью алгебры многомерных матриц, а также примеры алгоритмов, получившие естественное обобщение на алгебру многомерных матриц. Приводится определение сингулярного разложения для плоских матриц, перечислены свойства данного разложения. Приводятся необходимые понятия алгебры многомерных матриц, данные в работе Н. П. Соколова; помимо этого, вводится пара новых определений, после чего на основании желаемых свойств и данных определений формулируются требования к искомому разложению. Предлагается способ нахождения сингулярного разложения пространственных матриц, использующий идеи разбиения матрицы на сечения; данный подход позволяет свести решаемую задачу к нахождению сингулярных разложений плоских матриц. Доказывается сохранение свойств данного разложения, приводится пример подобного разложения, после чего выдвигаются идеи о возможностях его применения и дальнейшего обобщения на случай произвольной размерности исходной матрицы.