Численное решение на неравномерной сетке задачи оптимального управления системой массового обслуживания с малым параметром

Аннотация

Задача о кратчайшей очереди (the shortest queue problem, SQP) широко применяется для процедуры балансировки нагрузки в телекоммуникационных системах. В настоящее время SQP является одной из наиболее интенсивно изучаемых задач и многие исследователи уделяют всестороннее внимание SQP для крупномасштабных систем массового обслуживания (the large-scale queueing systems, LSQS) с очень большим количеством идентичных устройств, так как это необходимо, например, для анализа устойчивой работы сетей 5G/6G. В данной работе применена численная схема высокого порядка на неоднородной сетке для исследования задачи оптимального управления LSQS с малым параметром. Мы предполагаем, что LSQS предоставляет одинаковые сервисы идентичными односервисными устройствами с экспоненциально распределенным временем обслуживания и пуассоновским входящим потоком запросов на услуги LSQS с конечной интенсивностью. LSQS реализует сервисную дисциплину таким образом, что для каждого входящего запроса обеспечивается случайный выбор из любых m таких устройств, которые имеют длину очереди не более величины s, которая не больше величины m. В этом случае динамика LSQS может быть изучена с помощью анализа решений системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка с малым параметром, которая может быть получена с помощью методов цепей Маркова. Задача оптимального управления LSQS, которая исследуется в работе, сводится к краевой задачи для этой системы дифференциальных уравнений с малым параметром. В работе используется процедура усечения для системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка с малым параметром, что позволяет получить решение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений конечного порядка. Для численного решения краевой задачи для усеченной системы дифференциальных уравнений с малым параметром применена численная схема высокого порядка с неоднородной сеткой. Сеточная схема демонстрирует хорошую сходимость решений сингулярно возмущенной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, когда малый параметр стремится к нулю. Результаты моделирования динамики LSQS демонстрируют, что эта LSQS с оптимальным управлением, способна обслуживать большое количество входных запросов, которые поступают с высокой интенсивностью.