Об интегральном уравнении, возникающем в биологической модели после замыкания третьей степени

Аннотация

Настоящая статья посвящена нелинейному интегральному уравнению, возникающему в биологической модели Ульфа Дикмана и Ричарда Лоу. Делается краткий обзор модели зарубежных авторов Individual-based model, описывается смысл и необходимость введения пространственных моментов. Далее приведён вывод нелинейного уравнения (для состояния равновесия) из системы динамики пространственных моментов, после замыкания третьей степени. Как предполагалось ранее, в результате данного замыкания выводится интегральное уравнение с нелинейной свёрткой. Полученное уравнение преобразуется к виду, удобному для применения численного метода, основанного на итерационных рядах Неймана. Авторами был разработан устойчивый численный метод решения полученного интегрального уравнения. В завершении статьи приведено большое количество примеров использования построенного численного метода и численного моделирования: строится поверхность в пространстве параметров для интегральных ядер движения и конкуренции; приводится зависимость решения нелинейного интегрального уравнения в зависимости от области интегрирования (решение при данных манипуляциях выходит на асимптоту, и изменяется не существенно); численное изучение интегрального уравнения при параметре естественной смертности равном нулю. Интересным является результат существования нетривиального решения, исследуемого нелинейного интегрального уравнения при параметре естественной смертности, d > 0. Это существенно отличает выведенное интегральное уравнения от его линейного аналога, широко изученного в прежних работах. 

Сведения об авторах

Serafim Rustamovich Gadzhiev, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

аспирант кафедры общей математики, факультет вычислительной математики и кибернетики

Alexey Antonovich Nikitin, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

доцент кафедры общей математики, факультет вычислительной математики и кибернетики, кандидат физико-математических наук

Литература

[1] Law R., Dieckmann U., & Metz J.A.J. The geometry of ecological interactions: Introduction. In: Dieckmann U., Law R., Metz J.A.J. (eds). The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. (In Eng.) DOI: 10.1017/CBO9780511525537.001
[2] Dieckmann U., Law R. Relaxation Projections and the Method of Moments. In: Dieckmann U., Law R., Metz J.A.J. (eds). The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity. Cambridge: Cambridge University Press, 2000; p. 412-455. Available at: https://pdfs.semanticscholar.org/4bee/d9a54a79b51d26ee9d2f90064d73234b8c76.pdf (accessed 21.04.2019). (In Eng.)
[3] Law R., Dieckmann U. Moment Approximations of Individual-based Models. In: Dieckmann U., Law R., Metz J.A.J. (eds). The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity. Cambridge: Cambridge University Press, 2000; p. 252-270. Available at: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.5839&rep=rep1&type=pdf (accessed 21.04.2019). (In Eng.)
[4] Law R., Dieckmann U. A Dynamical System for Neighborhoods in Plant Communities. Ecology. 2000; 81(8):2137-2148. (In Eng.) DOI: 10.2307/177102
[5] Raghib M., Hill N.A., Dieckmann U.J. A multiscale maximum entropy moment closure for locally regulated space–time point process models of population dynamics. Journal of Mathematical Biology. 2011; 62(5):605-653. (In Eng.) DOI: 10.1007/s00285-010-0345-9
[6] Bodrov A.G., Nikitin A.A. Qualitative and numerical analysis of an integral equation arising in a model of stationary communities. Doklady Mathematics. 2014; 89(2):210-213. (In Eng.) DOI: 10.1134/S1064562414020240
[7] Nikitin A.A. On the closure of spatial moments in the biolog-ical model, and the integral equations to which it leads. International Journal of Open Information Technologies. 2018; 6(10):1-8. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=36286946 (accessed 21.04.2019). (In Russ., abstract in Eng.)
[8] Murrel D.J., Dieckmann U., Law R. On moment closures for population dynamics in continuous space. Journal of Theoretical Biology. 2004; 229(3):421-432. (In Eng.) DOI: 10.1016/j.jtbi.2004.04.013
[9] Danchenko V.I., Davydov A.A., Nikitin A.A. On integral equations for stationary distributions for biological communities. Problems of Dynamical Control. Coll. Sci. Works of VMK Fac., Moscow Lomonosov State Univ. Vol. 5. M., Maks Press, 2010; 15-29. (In Russ.)
[10] Davydov A.A., Danchenko V.I., Zvyagin M.Yu. Existence and uniqueness of a stationary distribution of a biological community. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2009; 267(1):40-49. (In Eng.) DOI: 10.1134/S0081543809040038
[11] Bodrov A.G., Nikitin A.A. Examining the biological species steady-state density equation in spaces with different dimensions. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2015; 39(4):157-162. (In Eng.) DOI: 10.3103/S0278641915040020
[12] Kalistratova A.V., Nikitin A.A. Study of Dieckmann’s equation with integral kernels having variable kurtosis coefficient. Doklady Mathematics. 2016; 94(2):574-577. (In Eng.) DOI: 10.1134/S1064562416050288
[13] Nikitin A.A., Nikolaev M.V. Equilibrium Integral Equations with Kurtosian Kernels in Spaces of Various Dimensions. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2018; 42(3):105-113. (In Eng.) DOI: 10.3103/S0278641918030093
[14] Danchenko V.I., Rubay R.V. On integral equations of stationary distributions for biological systems. Journal of Mathematical Sciences. 2010; 171(1):34–45. (In Eng.) DOI: 10.1007/s10958-010-0124-6
[15] Riss F., Sekefalvi-Nad' B. Functional analysis. New York, Ungar Publ., 1955. (In Eng.)
[16] Krasnosel'skii M.A. Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations. (International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics. Vol. 45. Oxford/London/New York/Paris, 1964. 395 p. (In Eng.)
[17] Nikolaev M.V., Nikitin A.A. The leray-schauder principle applied to the study of a nonlinear integral equation. Differential Equations. 2019; 55(9):1-12. (In Eng.)
Опубликована
2019-07-25
Как цитировать
GADZHIEV, Serafim Rustamovich; NIKITIN, Alexey Antonovich. Об интегральном уравнении, возникающем в биологической модели после замыкания третьей степени. Международный научный журнал «Современные информационные технологии и ИТ-образование», [S.l.], v. 15, n. 2, p. 298-305, july 2019. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/521>. Дата доступа: 21 nov. 2019 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.15.201902.298-305.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук