Периодические решения уравнения Эйлера-Бернулли колебаний балки с жестко заделанными концами
Аннотация
Исследуется задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки с закрепленными концами. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. В работе изучается случай, когда период времени соизмерим с длиной балки. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для построения соответствующей ортонормированной системы исследуется задача Штурма-Лиувилля на собственные функции и собственные значения. Исследовано трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют собственные значения задачи Штурма-Лиувилля. Из него получена асимптотика собственных значений, которая используется при обосновании гладкости решения уравнения Эйлера-Бернулли. Доказана равномерная ограниченность собственных функций задачи Штурма-Лиувилля и получены оценки для их производных. Получены условия обратимости дифференциального оператора уравнения Эйлера-Бернулли. Доказана вполне непрерывность резольвенты этого оператора на дополнении к спектру. С помощью исследования двойных сумм рядов Фурье доказано существование и регулярность решений соответствующей линейной задачи. Исследована задача о периодических решениях квазилинейного уравнения колебаний балки. Рассмотрен случай, когда при достаточно больших по модулю значениях аргумента отношение нелинейного слагаемого к аргументу не совпадает с собственными значениями дифференциального оператора. Доказана теорема о существовании обобщенного периодического решения, для которого граничные условия выполнены в классическом смысле. Периодическое решение найдено как неподвижная точка соответствующего оператора с помощью топологических методов.
Литература
[2] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4e série. 1978; 5(2):225-326. (In Eng.)
[3] Tanaka K. Infinitely Many Periodic Solutions for the Equation: utt+uxx±|u|p-1 u=f(x,t).II. Transactions of the American Mathematical Society. 1988; 307(2):615-645. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.2307/2001191
[4] Rabinowitz P.H. Large Amplitude Time Periodic Solutions of a Semilinear Wave Equation. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1984; 37(2):189-206. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160370203
[5] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with non-monotone nonlinearities. Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire. 2006; 23(4):439-474. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2005.05.004
[6] Baldi P., Berti M. Forced Vibrations of a Nonhomogeneous String. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2008; 40(1):382-412. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1137/060665038
[7] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck nonlinearities. . Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA. 2008; 15(1):247-276. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00030-007-7025-5
[8] Berti M., Biasco L., Procesi M. KAM for Reversible Derivative Wave Equations. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2014; 212(3):905-955. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00205-014-0726-0
[9] Rudakov I.A. Periodic solutions of a quasilinear wave equation with variable coefficients. Sbornik: Mathematics. 2007; 198(7):993. (In Eng.) DOI: http://dx.doi.org/10.1070/SM2007v198n07ABEH003870
[10] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependet coefficients. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2008; 32(2):137-153. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00526-007-0132-7
[11] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonlinearity. Journal of Differential Equations. 2018; 264(9):5527-5540. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.02.001
[12] Rudakov I.A. Periodic Solutions of the Qusilinear Equation of Forced Vibrations of an Inhomogeneous String. Mathematical Notes. 2017; 101(1-2):137-148. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S000143461701014X
[13] Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinearevolution equations and applications. Funkcialaj Ekvacioj. 1995; 38:519-538. (In Eng.)
[14] Eliasson L.H., Grébert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation. Geometric and Functional Analysis. 2016; 26(6):1588-1715. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00039-016-0390-7
[15] Elishakoff I., Johnson V. Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass. Journal of Sound and Vibration. 2005; 286(4-5):1057-1066. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2005.01.050
[16] Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogeneous elastically restrained vibrating beams. Journal of Sound and Vibration. 2006; 298(1-2):439-445. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2006.05.028
[17] Wang Y., Si J. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic forcing term. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2012; 63(1):189-190. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00033-011-0172-x
[18] Wang Y. Quasi-periodic solutions of a quasi-periodically forced nonlinear beam equation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012; 17(6):2682-2700. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2011.10.022
[19] Wang Y., Li Y. Time periodic solutions to the beam equation with weak damping. Journal of Mathematical Physics. 2018; 59(11):111503. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1063/1.5046821
[20] Wang Y. Quasi-periodic solutions for a completely resonant beam equation with a nonlinear term depending on the time and space variables. Nonlinear Analysis. 2019; 189:111585. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.na.2019.111585
[21] Chen B., Gao Y., Li Y. Periodic Solutions to Nonlinear Euler-Bernoulli Beam Equations. Communications in Mathematical Sciences. 2019; 17(7):2005-2034. (In Eng.) DOI: https://dx.doi.org/10.4310/CMS.2019.v17.n7.a10
[22] Chen B., Li Y., Gao Y. The existence of periodic solutions for nonlinear beam equations on Td by a para-differential method. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2018; 41(7):2546-2574. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1002/mma.4758
[23] Chen B., Gao Y., Jiang S., Li Y. Quasi-periodic solutions to nonlinear beam equations on compact Lie groups with a multiplicative potential. Journal of Differential Equations. 2018; 264(11):6959-6993. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.02.005
[24] Shi Y. On the existence of Sobolev quasi-periodic solutions of multidimensional nonlinear beam equation. Journal of Mathematical Physics. 2016; 57(10):102701. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1063/1.4964258
[25] Shi Y., Xu J., Xu X. Quasi-periodic Solutions for a Class of Higher Dimensional Beam Equation with Quasi-periodic Forcing. Journal of Dynamics and Differential Equations. 2019; 31(2):745-763. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s10884-018-9657-z
[26] Wei H., Ji S. Periodic solutions of a semilinear Euler-Bernoulli beam equation with variable coefficients. ArXiv:2001.05693. 2001. Available at: https://arxiv.org/abs/2001.05693 (accessed 12.09.2020). (In Eng.)
[27] Rudakov I.A. Periodic solutions of the quasilinear equation оf forced beam vibration with homogeneous boundary conditions. Izvestiya: Mathematics. 2015; 79(5):1064-1086. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1070/IM2015v079n05ABEH002772
[28] Rudakov I.A. On Periodic Solutions of a Beam Vibration Equation. Differential Equations. 2018; 54(5):687-695. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118050117
[29] Rudakov I.A. Oscillation Equation of a Beam with Fixed and Pivotally Supporter Ends. Moscow University Mathematics Bulletin. 2020; 75(2):53-57. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.3103/S0027132220020011
[30] Rudakov I.A. Problem on Periodic Vibrations of an I-beam with Clamped Endpoint in the Resonance Case. Differential Equations. 2020; 56(3):330-339. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120030064
[31] Naimark M.A. Linear Differential Operators: Two Volumes Bound as One. Ed. by Everitt W. N. Dover Publications, Incorporated, 2012. (In Eng.)
[32] Nazarov A.I., Nikitin Ya.Yu. Exact L2-small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems. Probability Theory and Related Fields. 2004; 129(4):469-494. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s00440-004-0337-z
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
