Численный анализ на неравномерной сетке задачи о кратчайшей очереди для масштабируемой во времени системы массового обслуживания с малым параметром

Аннотация

В этой работе мы используем численные методы с использованием неравномерной сетки Шишкина для анализа длин очередей масштабируемой во времени системы массового обслуживания M / M / n при n →∞, для которой имеется пуассоновский входящий поток заявок с интенсивностью nλ и временем обслуживания τ = μ^-1, где μ - параметр интенсивности обслуживания. Система массового обслуживания реализует дисциплину обслуживания таким образом, что для каждой входящей заявки обеспечивается случайный выбор m любых приборов и среди них выбирается s (1 ≤ s ≤ m) приборов, которые имеют самую короткую очередь. Динамика такой системы массового обслуживания может быть описана с помощью функции кратчайшей очереди u_k^{s, m} (t)(k = 0,1,2,…;s,m = 1,2,…; 1 ≤ s ≤ m), которая может быть найдена путем решения системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка, которая может быть получена с использованием подхода, который подразумевает использование цепей Маркова. Для этой системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка, которую можно отнести к системе дифференциальных уравнений тихоновского типа, формулируется сингулярно возмущенная задача Коши с малым параметром. Для системы дифференциальных уравнений этой задачи Коши используется процедура усечения, которая позволяет получить сингулярно возмущенную усеченную задачу Коши для системы дифференциальных уравнений конечного порядка тихоновского типа. Для численного анализа решений усеченной задачи Коши применяется неоднородная сеточная схема Шишкина высокого порядка. Эта схема демонстрирует хорошую сходимость решений сингулярно возмущенной усеченной задачи Коши, когда малый параметр стремится к нулю. Результаты численного анализа решений усеченной задачи Коши показывают, что масштабируемая во времени система массового обслуживания может справляться с интенсивным входящим потоком заявок.