НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОН
Аннотация
В работе исследуется задача о периодических по времени решениях уравнения sin-Гордон с граничными условиями Неймана и Дирихле на отрезке. Новизна работы состоит в том, что в предшествующих работах существование периодических решений уравнения sin-Гордон на отрезке было доказано для случая граничных условий Дирихле и третьего рода. При исследовании уравнения применяется вариационный метод. Периодическое решение задачи находится как критическая точка функционала энергии. Для доказательства существования критической точки функционал ограничивается на конечномерные подпространства и применяется разновидность теоремы о “перевале”, позволяющая найти седловые стационарные точки. Используя особенности спектра дифференциального оператора и нелинейного слагаемого в этих подпространствах найдены зацепляющиеся поверхности, удовлетворяющие условиям теоремы о “перевале”. Для осуществления предельного перехода, когда размерность подпространств стремится к бесконечности, доказаны равномерные оценки последовательности функций, являющихся стационарными точками функционала на этих подпространствах. Предельный переход использует метод компактности. Доказательство гладкости обобщенного решения проводится с помощью рядов Фурье. Для доказательства сходимости рядов Фурье и их производных исследуются собственные значения дифференциального оператора, соответствующего линейной части уравнения.
Литература
[2] Lovicarova H. Periodic solutions of a weakly nonlinear wave equations in one dimension. Czechoslovak Mathematical Journal. 1969; 19:324-342. Available at: https://eudml.org/doc/12474 (accessed 11.07.2018).
[3] Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978; 31(1):31-68. DOI: 10.1002/cpa.3160310103
[4] Rabinowitz P. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equation. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1984; 37(2):189-206. DOI: 10.1002/cpa.3160370203
[5] Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978; 31(1):1-30. DOI: 10.1002/cpa.3160310102
[6] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Série 4. 1978; 5(2):225-326. Available at: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1978_4_5_2_225_0/ (accessed 11.07.2018).
[7] Rudakov I.А. Nonlinear vibrations of a string. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 1984; 2:9-13. (In Russian)
[8] Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation: II. Transactions of the American Mathematical Society. 1988; 307(2):615-645. DOI: 10.2307/2001191
[9] Plotnikov P.I. Existence of a countable set of periodic solutions to the problem of forced oscillations for a weakly nonlinear wave equation. Matem. Sbornik. 1988; 136(4):546-550. (In Russian)
[10] Barby V., Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients. Transactions of the American Mathematical Society. 1997; 349(5):2035-2048. DOI: 10.1090/S0002-9947-97-01714-5
[11] Rudakov I.A. Periodic solutions of a nonlinear wave equation with non-constant coefficients. Mathematical Notes. 2004; 76(3-4):395–406. DOI: 10.1023/B:MATN.0000043467.04680.1d
[12] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with non-monotone nonlinearities. Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire. 2006; 23(4):439-474. DOI: 10.1016/j.anihpc.2005.05.004
[13] Yuan X. Quasi-periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations. Journal of Differential Equations. 2006; 230(1):213-274. DOI: 10.1016/j.jde.2005.12.012
[14] Baldi P., Berti M. Forced Vibrations of a Nongomogeneous String. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2008; 40(1):382-412. DOI: 10.1137/060665038
[15] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck nonlinearities. Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA. 2008; 15(1-2):247-276. DOI: 10.1007/s00030-007-7025-5
[16] Berti M., Biasco L. Procesi M. KAM for reversible derivative wave equations. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2014; 212(3):905-955. DOI: 10.1007/s00205-014-0726-0
[17] Rudakov I.A. Periodic solutions of a quasi-linear wave equation with variable coefficients. Matem. Sbornik. 2007; 198(7):91-108. (In Russian)
[18] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x - dependet coefficients. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2008; 32(2):137-153. DOI: 10.1007/s00526-007-0132-7
[19] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonlinearity. Journal of Differential Equations. 2018; 264(9):5527-5540. DOI: 10.1016/j.jde.2018.02.001
[20] Ji S., Li Y. Time periodic solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011; 199(2):435-451. DOI: 10.1007/s00205-010-0328-4
[21] Ji S., Gao Y., Zhu W. Existence and multiplicity of periodic solutions for Dirichlet-Neumann boundary value problem of a variable coefficient wave equation. Advanced Nonlinear Studies. 2016; 16(4):765 -773. DOI: 10.1515/ans-2015-5058
[22] Chen J. Periodic solutions to nonlinear wave equations with spatially dependent coefficients. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2015; 66(5):2095 -2107. DOI: 10.1007/s00033-015-0497-y
[23] Chen J., Zhang Z. Existence of periodic solutions to asymptotically linear wave equations in a ball. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2017; 56(58):3-27. DOI: 10.1007/s00526-017-1154-4
[24] Rudakov I.A. Periodic Solutions of the Qusilinear Equation of Forced Vibrations of an Inhomogeneous String. Mathematical Notes. 2017; 101(1-2):137-148. DOI: 10.1134/S000143461701014X
[25] Nirenberg L. Variational and topological methods in nonlinear problems. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1981; 4(3):267-302. Available at: https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548116 (accessed 11.07.2018).
[26] Coron J.M. Periodic solutions of a nonlinear wave equation without assumption of monotonicity. Mathematische Annalen. 1983; 262(2):273–285. DOI: 10.1007/BF01455317
[27] Rudakov I.A.. The problem of free periodic oscillations of a string with non-monotonic non-linearity. Russian Mathematical Surveys. 1985; 40(1):237-238. DOI: 10.1070/RM1985v040n01ABEH003548
[28] Kondrat’ev V.A., Rudakov I.A. Periodic Solutions of a Quasilinear Wave Equation. Mathematical Notes. 2009; 85(1-2):34–50. DOI: 10.1134/S0001434609010040
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
