ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ

Аннотация

Исследуется задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки с шарнирно опертыми концами. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. В работе изучается случай, когда период времени соизмерим с длиной балки. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для доказательства сходимости рядов Фурье и их производных исследуются собственные значения дифференциального оператора, соответствующего линейной части уравнения. Получены условия, при которых ядро дифференциального оператора является конечномерным и обратный оператор является вполне непрерывным на дополнении к ядру. Доказана лемма о существовании и регулярности решений соответствующей линейной задачи. Доказательство опирается на свойства сумм рядов Фурье. Доказана теорема о существовании и регулярности периодического решения, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. Из условия нерезонансности вытекает тот факт, что при больших по модулю значениях аргумента график нелинейного слагаемого не пересекает прямых, угловой коэффициент которых является собственным значением линейной части уравнения. При доказательстве теоремы проводится априорная оценка решений соответствующего операторного уравнения и применяется принцип Лере-Шаудера о неподвижной точке. Получены дополнительные условия, при которых найденное в основной теореме периодическое решение является единственным.