ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ

  • Игорь Алексеевич Рудаков Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) http://orcid.org/0000-0002-4669-0532
  • Елена Владимировна Романенко Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) http://orcid.org/0000-0001-5192-9854

Аннотация

Исследуется задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки с шарнирно опертыми концами. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. В работе изучается случай, когда период времени соизмерим с длиной балки. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для доказательства сходимости рядов Фурье и их производных исследуются собственные значения дифференциального оператора, соответствующего линейной части уравнения. Получены условия, при которых ядро дифференциального оператора является конечномерным и обратный оператор является вполне непрерывным на дополнении к ядру. Доказана лемма о существовании и регулярности решений соответствующей линейной задачи. Доказательство опирается на свойства сумм рядов Фурье. Доказана теорема о существовании и регулярности периодического решения, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. Из условия нерезонансности вытекает тот факт, что при больших по модулю значениях аргумента график нелинейного слагаемого не пересекает прямых, угловой коэффициент которых является собственным значением линейной части уравнения. При доказательстве теоремы проводится априорная оценка решений соответствующего операторного уравнения и применяется принцип Лере-Шаудера о неподвижной точке. Получены дополнительные условия, при которых найденное в основной теореме периодическое решение является единственным.

Сведения об авторах

Игорь Алексеевич Рудаков, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры ФН-2

Елена Владимировна Романенко, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

студент

Литература

[1] Van'ko V.I. On natural oscillation frequencies of overhead transmission conductors. Energetika. Proceedings of CIS higher education institutions and power engineering associations. 1987; 8:7-12. (In Russian)
[2] Collatz L. Eigenwertaufgaben mit technishen anwendungen. Akademishe Verlagsgesellschaft. Geest & Portig K.-G. Leipzig, 1963.
[3] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Série 4. 1978; 5(2);225-326. Available at: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1978_4_5_2_225_0/ (accessed 11.07.2018).
[4] Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation II. Transactions of the American Mathematical Society. 1988; 307(2):615-645. DOI: 10.2307/2001191
[5] Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term. Czechoslovak Mathematical Journal. 1988; 38(1):78-87. Available at: http://eudml.org/doc/13683 (accessed 11.07.2018).
[6] Barby V., Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients. Transactions of the American Mathematical Society. 1997; 349(5):2035-2048. DOI: 10.1090/S0002-9947-97-01714-5
[7] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with non-monotone nonlinearities. Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire. 2006; 23(4);439-474. DOI: 10.1016/j.anihpc.2005.05.004
[8] Baldi P., Berti M. Forced Vibrations of a Nongomogeneous String. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2008; 40(1):382-412. DOI: 10.1137/060665038
[9] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck nonlinearities. Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA. 2008; 15(1-2):247-276. DOI: 10.1007/s00030-007-7025-5
[10] Berti M., Biasco L. Procesi M. KAM for reversible derivative wave equations. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2014; 212(3):905-955. DOI: 10.1007/s00205-014-0726-0
[11] Rudakov I.A. Periodic solutions of a quasi-linear wave equation with variable coefficients. Matem. Sbornik. 2007; 198(7):91-108. (In Russian)
[12] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x - dependet coefficients. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2008; 32(2):137-153. DOI: 10.1007/s00526-007-0132-7
[13] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonlinearity. Journal of Differential Equations. 2018; 264(9):5527-5540. DOI: 10.1016/j.jde.2018.02.001
[14] Ji S., Li Y. Time periodic solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011; 199(2):435-451. DOI: 10.1007/s00205-010-0328-4
[15] Ji S., Gao Y., Zhu W. Existence and multiplicity of periodic solutions for Dirichlet-Neumann boundary value problem of a variable coefficient wave equation. Advanced Nonlinear Studies. 2016; 16(4):765 -773. DOI: 10.1515/ans-2015-5058
[16] Chen J. Periodic solutions to nonlinear wave equations with spatially dependent coefficients. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2015; 66(5):2095 -2107. DOI: 10.1007/s00033-015-0497-y
[17] Chen J., Zhang Z. Existence of periodic solutions to asymptotically linear wave equations in a ball. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2017; 56(58):3-27. DOI: 10.1007/s00526-017-1154-4
[18] Yuan X. Quasi-periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations. Journal of Differential Equations. 2006; 230(1):213-274. DOI: 10.1016/j.jde.2005.12.012
[19] Feireisl E. Time periodic solutions to a semilinear beam equation. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1988; 12(3):279-290. DOI: 10.1016/0362-546X(88)90114-9
[20] Eliasson L.H., Grebert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation. Geometric and Functional Analysis. 2016; 26(6):1588-1715. DOI: 10.1007/s00039-016-0390-7
[21] Elishakoff I., Johnson V. Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with s tip mass // Journal of Sound and Vibration. 2005; 286(4-5):1057-1066. DOI: 10.1016/j.jsv.2005.01.050
[22] Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogeneous elastically restrained vibrating beams. Journal of Sound and Vibration. 2006; 298(1-2):439-445. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.05.028
[23] Wang Y., Si J. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic forcing ter. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2012; 63(1):189-190. DOI: 10.1007/s00033-011-0172-x
[24] Chen B., Gao Y., Li Y. Periodic solutions to nonlinear Euler-Bernoulli beam equations. Dynamical systems (Math. DS). arXiv preprint. Vol. 1. 2018. 29 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1804.03300v1 (accessed 11.07.2018).
[25] Rudakov I.A. Periodic Solutions of the Quasilinear Beam Vibration Equation With Homogeneous Boundary Conditions. Differential equations. 2012; 48(6):820-831. DOI: 10.1134/S0012266112060067
[26] Rudakov I.A. Periodic solutions of the quasilinear equation оf forced beam vibration with homogeneous boundary conditions. Izvestiya: Mathematics. 2015; 79(5):1064-1086. DOI 10.1070/IM2015v079n05ABEH002772
[27] Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications. Funkcialaj Ekvacioj. 1995; 38:519-538.
[28] Rudakov I.A. On periodic solutions of a beam vibration equation. Differential Equations. 2018; 54(5):687-695. DOI: 10.1134/S0012266118050117
Опубликована
2018-09-30
Как цитировать
РУДАКОВ, Игорь Алексеевич; РОМАНЕНКО, Елена Владимировна. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ. Современные информационные технологии и ИТ-образование, [S.l.], v. 14, n. 3, p. 647-653, sep. 2018. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/431>. Дата доступа: 29 sep. 2022 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.14.201803.647-653.