Сравнительный анализ методов построения нейросетевых моделей для задач с параметризованными дифференциальными уравнениями

Аннотация

Проведено комплексное исследование эффективности нейроморфных моделей для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрен пример параметризованного дифференциального уравнения второго порядка. Разработана двухэтапная методика, сочетающая аналитический вывод решений на основе обобщенного метода трапеций для различного количества слоев и последующую нейросетевую оптимизацию с различным количеством нейронов. На первом этапе для каждого количества слоев выведены аналитические выражения решения. На втором этапе проведена оптимизация весовых коэффициентов методом случайного поиска по набору начальных приближений с дальнейшей минимизацией функционала ошибки. В качестве нейросетевых базисных функций используются произведения гиперболических тангенсов, что позволяет учитывать зависимость решения как от пространственной переменной, так и от параметра уравнения. Дополнительно исследован метод регулировки разбиения интервалов, основанный на адаптивном изменении длины шага интегрирования. Установлено, что увеличение количества слоёв приводит к последовательному снижению ошибки. Показано, что для каждого количества слоёв существует оптимальное количество нейронов, обеспечивающее баланс между точностью и вычислительной сложностью.