Аппроксимация функций Бесселя методом построения многослойных решений дифференциальных уравнений

Аннотация

Построение многослойных приближённых решений дифференциальных уравнений, основанное на классических численных методах, применяется для аппроксимации специальных функций как решений соответствующих дифференциальных уравнений. В работе исследуется уравнение Бесселя. Многослойные методы были введены авторами ранее как способ построения приближенных решений в аналитической форме, аналогичной нейронным сетям глубокого обучения без необходимости, но с возможностью такого обучения. Задача аппроксимации функций Бесселя считается классической, но сохраняет свою актуальность в связи с требованиями современной физики и связанными с ней вычислениями. В работе строятся единые параметрические приближенные решения для функций Бесселя разных порядков, приводятся примеры конкретных приближений для отрицательных и положительных порядков функций Бесселя первого рода, в том числе для полуцелых значений. В качестве базисных методов построения многослойных решений рассмотрены как явные, так и неявные методы. Применение явных методов изучено в двух разных постановках. Показаны преимущества полученных результатов в сравнении с усеченным степенным рядом. Иллюстрируется возможность построения приближений с любой заданной точностью. Предложен способ увеличения точности аппроксимации с помощью использования оптимальной стартовой точки для явных схем.

Сведения об авторах

Alexander Nikolayevich Vasilyev, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

профессор кафедры высшей математики, Институт прикладной математики и механики, доктор технических наук, доцент

Tatyana Valerievna Lazovskaya, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

магистр прикладной математики и механики, старший преподаватель кафедры высшей математики, Институт прикладной математики и механики

Dmitriy Albertovich Tarkhov, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

профессор кафедры высшей математики, Институт прикладной математики и механики, доктор технических наук, доцент

Литература

[1] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka; 1977. (In Russ.)
[2] Harrison J. Fast and Accurate Bessel Function Computation. In: 2009 19th IEEE Symposium on Computer Arithmetic. Portland, OR; 2009. p. 104-113. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1109/ARITH.2009.32
[3] Kadri U. Multiple-location matched approximation for Bessel function J0 and its derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019; 72:59-63. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.12.005
[4] Maass F., Martin P. Precise analytic approximations for the Bessel function J1(x). Results in Physics. 2018; 8:1234-1238. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinp.2018.01.071
[5] Martin P., Olivares J., Maass F., Valero E. Analytic approximations for special functions, applied to the modified Bessel functions I2(x) and I2/3(x). Results in Physics. 2018; 11:1028-1033. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinp.2018.10.029
[6] Maass F., Martin P., Olivares J. Analytic approximation to Bessel function J0(x). Computational and Applied Mathematics. 2020; 39(3):222. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s40314-020-01238-z
[7] Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models based on grid methods. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2016; 158:012061. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/158/1/012061
[8] Vasilyev A., Tarkhov D., Bolgov I., Kaverzneva T., Kolesova S., Lazovskaya T., Lukinskiy E., Petrov A., Filkin V. Multilayer neural network models based on experimental data for processes of sample deformation and destruction. In: CEUR Workshop Proceedings. Selected Papers of the First International Scientific Conference Convergent Cognitive Information Technologies (Convergent 2016). 2016; 1763:6-14. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1763/paper01.pdf (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[9] Tarkhov D., Shershneva E. Approximate analytical solutions of Mathieu’s equations based on classical numerical methods. In: Selected Papers of the XI International Scientific-Practical Conference Modern Information Technologies and IT-Education (SITITO 2016.) 2016; 1761: 356-362. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper46.pdf (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[10] Vasilyev A., Tarkhov D., Shemyakina T. Approximate analytical solutions of ordinary differential equations. In: CEUR Workshop Proceedings. Selected Papers of the XI International Scientific-Practical Conference Modern Information Technologies and IT-Education (SITITO 2016). 2016; 1761:393-400. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper50.pdf (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[11] Tarkhov D., Vasilyev A. Semi-empirical Neural Network Modeling and Digital Twins Development. Academic Press, Elsevier; 2020. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/C2017-0-02027-X
[12] Kuznetsov E.B., Leonov S.S., Tarkhov D.A., Vasilyev A.N. Multilayer method for solving a problem of metals rupture under creep conditions. Thermal Science. 2019; 23(S 2):575-582. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.2298/TSCI19S2575K
[13] Budkina E.M., Kuznetsov E.B., Tarkhov D.A., Gomzina A.A., Maltsev S.D. Comparison of solving a stiff equation on a sphere by the multi-layer method and method of continuing at the best parameter. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2018; 14(3):533-541. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.14.201803.533-541
[14] Kuznetsov E.B., Leonov S.S., Tarkhov D.A., Tsapko E.D., Babintseva A.A. Numerical methods for solving problems with contrast structures. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2018; 14(3):542-551. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.14.201803.542-551
[15] Kartavchenko A.E., Tarkhov D.A. Comparison of methods of construction of approximate analytical solutions of differential equations considering on the example of elementary functions. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2017; 13(3):16-23. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.2017.3.440
[16] Tarkhov D.A., Subbota A.D. Surikov I.Yu. The use of multilayer approximate methods of solving differential equations to the problem of stabilization of an inverted pendulum. In: V. A. Sukhomlin (ed.) Proceedings of the II International Scientific Conference and the XII International Scientific and Practical Conference. Moscow, МАКS-Press; 2017. p. 57-67. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=32661941 (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[17] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Bolgov I.P., Kaverzneva T.T., Kolesova S.A., Lazovskaya T.V., Lukinsky E.V., Petrov A.A., Filkin V.M. Multilayer neural network models based on experimental data for processes of sample deformation and destruction. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2016; 12(1):6-14. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=27539212 (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[18] Tarkhov D.A., Shershneva E.A. Approximate analytical solutions of Mathieu’s equations based on classical numerical methods. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2016; 12(3-1):202-208. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=27411993 (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[19] Vasilyev A.N., Lozhkin V.N., Lozhkina O.V., Tarkhov D.A., Timofeev V.D. Neural network approach in information process for predicting highway area air pollution by peat fire. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2016; 12(3-2):181-187. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=27705974 (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[20] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Shemyakina T.A. Approximate analytical solutions of ordinary differential equations. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2016; 12(3-2):188-195. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=27705975 (accessed 02.09.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[21] Kaverzneva T.T., Malykhina G.F., Tarkhov D.A. From Differential Equations to Multilayer Neural Network Models. In: H. Lu, H. Tang, Z. Wang (ed.) Advances in Neural Networks – ISNN 2019. ISNN 2019. Lecture Notes in Computer Science. 2019; 11554:19-27. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-030-22796-8_3
[22] Zulkarnay I.U., Kaverzneva T.T., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Vinokhodov T.V., Kapitsin D.R. A Two-layer Semi Empirical Model of Nonlinear Bending of the Cantilevered Beam. IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2017 IMEKO TC1-TC7-TC13 Joint Symposium. 2018; 1044:012005. (In Eng.) DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1044/1/012005
[23] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Berminova M.S., Galyautdinova A.R. Semi-empirical Neural Network Model of Real Thread Sagging. In: B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (ed.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. NEUROINFORMATICS 2017. Studies in Computational Intelligence. 2018; 736:138-144. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-66604-4_21
[24] Lazovskaya T., Tarkhov D., Vasilyev A. Multi-Layer Solution of Heat Equation. In: B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (ed.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. NEUROINFORMATICS 2017. Studies in Computational Intelligence. 2018; 736:17-22. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-66604-4_3
[25] Takhov D.A., Bortkovskaya M.R., Kaverzneva T.T., Kapitsin D.R., Shishkina I.A., Semenova D.A., Udalov P.P., Zulkarnay I.U. Semiempirical Model of the Real Membrane Bending. In: B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko, Y. Tiumentsev (ed.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research II. NEUROINFORMATICS 2018. Studies in Computational Intelligence. 2019; 799:221-226. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-01328-8_26
[26] Verzhbitsky V.M. Chislennye metody. Matematicheskij analiz i obyknovennye differencial'nye uravnenija[Numerical methods. Mathematical analysis and ordinary differential equations]. Moscow, Onyx 21st Century; 2005. (In Russ.)
Опубликована
2020-09-30
Как цитировать
VASILYEV, Alexander Nikolayevich; LAZOVSKAYA, Tatyana Valerievna; TARKHOV, Dmitriy Albertovich. Аппроксимация функций Бесселя методом построения многослойных решений дифференциальных уравнений. Международный научный журнал «Современные информационные технологии и ИТ-образование», [S.l.], v. 16, n. 2, p. 273-284, sep. 2020. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/649>. Дата доступа: 06 mar. 2021 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.16.202002.273-284.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук