О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

  • Василий Васильевич Тихомиров Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
  • Ольга Николаевна Бобылева Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Аннотация

В работе содержатся новые результаты по спектральным методам решения некорректно поставленных задач на примере задачи Коши для параболического уравнения. В работе предложен метод регуляризации решения обратной задачи. Регуляризованное уравнение получается за счет введения в уравнение теплопроводности биквадратного лапласиана с коэффициентом, равным параметру регуляризации. Это позволяет получить регуляризованное решение данной задачи в виде спектрального ряда, который хорошо сходится. Показано, что если решение исходной задачи существует, то разность между спектральными разложениями исходного и регуляризованного решений стремится к нулю при стремлении параметра регуляризации к нулю в пространстве функций, суммируемых с квадратом. Используя результаты по спектральной теории В.А. Ильина [4, 5]. Получены некоторые оценки для разности точного и регуляризованного решений.

Сведения об авторах

Василий Васильевич Тихомиров, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

кандидат физико-математических наук, доцент, помощник декана факультета вычислительной математики и кибернетики 

Ольга Николаевна Бобылева, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики

Литература

1. Hadamard, J. Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equations // New York, Dover Phoenix editions, Dover Publications, 1923.
2. Tychonoff, A.N. On the stability of inverse problems // Doklady Akad. Nauk SSSR. — 1943. — Vol. 39, no 5. — P. 195–198.
3. Lavrentyev, M.M. On Cauchy problem for the Laplace equation // Dokl. Akad. Nauk. — 1955. — Vol. 102, no 2. — P. 205-206.
4. Ilyin, V.A. Selected papers. Volume 1. // Moscow, Max Press. — 2008. — 728 p.
5. Ilyin, V.A. Spectral theory of differential operators. // Moscow, Nayka. — 1991. — 368 p.
6. Tychonoff, A.N. Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method // Doklady Akad. Nauk SSSR. — 1943. — Vol. 151. — P. 501–504.
7. Tikhomirov V.V., Bobyleva O.N., Ochilov N.N. On spectral method for solving inverse Couchy problem for heat equation // Abstracts of the international conference Voronezh summer school Pontryagin Readings – ХХVI. — 2015. — P. 190-191.
8. Faddeev, L. D. Increasing solutions of Schr¨odinger equation // Sov. Phys. Dokl. — 1966. — Vol. 10. — P. 1033-1035.
9. Tychonoff, A.N., Arsenin, V. Y. Solution of Ill-posed Problems // Washington, Winston. — 1977.
10. Calderon, A. P. Seminar on Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics ed W. H. Meyer and M. A. Raupp // Rio de Janeiro: Brazilian Mathematical Society — 1980 — pp. 65-73.
11. Groetsch, C.W. The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind // Pitman, Boston — 1984.
12. Hofmann, B. Regularization of Applied Inverse and Ill-Posed Problems // Teubner, Leipzig — 1986.
13. Mukhamedzhanov, A. M., Yarmukhamedov, R., Yarmukhamedov, S. Analytic continuation of reaction cross sections // Theor. Math. Phys. — 1988. — Vol. 74, no. 2. — P. 178-186.
14. Scherzer, O., Engl, H., Kunisch, K. Optimal a posteriori parameter choice for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems // SIAM J. Numer. Anal. — 1993. — Vol. 30. — P. 1796-1838.
15. Ikehata, M. Inverse conductivity problem in the infinite slab // Inverse Problems. — 2001. — Vol. 17. — P. 437-454.
16. Vogel, C. R. Computational Methods for Inverse Problems // SIAM, Philadelphia — 2002.
17. Tarantola, A. Inverse Problem Theory (free PDF version) // Society for Industrial and Applied Mathematics — 2004.
18. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P. "Section 19.4. Linear Regularization Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.) // Cambridge University Press, New York — 2007.
19. A˚kesson, E. O., Daun, K. J. Parameter selection methods for axisymmetric flame tomography through Tikhonov regularization //
Appl. Opt. — 2008. — Vol. 47. — P. 407-416.
Опубликована
2017-05-30
Как цитировать
ТИХОМИРОВ, Василий Васильевич; БОБЫЛЕВА, Ольга Николаевна. О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. Международный научный журнал «Современные информационные технологии и ИТ-образование», [S.l.], v. 13, n. 1, p. 25-29, may 2017. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/207>. Дата доступа: 18 nov. 2017 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.2017.1.442.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук