Сингулярное разложение пространственных матриц
Аннотация
Сингулярное разложение матриц – базовый строительный блок, используемый в решениях многих прикладных задач. В случаях, когда размерность задачи превышает два, прибегают к обобщениям сингулярного разложения – тензорным разложениям. Однако, разложения тензоров не всегда хорошо работают. Именно поэтому в данной статье предложено рассмотреть естественное обобщение алгоритма сингулярного разложения плоских матриц на пространственные матрицы. Перечислены задачи, успешно решенные с помощью алгебры многомерных матриц, а также примеры алгоритмов, получившие естественное обобщение на алгебру многомерных матриц. Приводится определение сингулярного разложения для плоских матриц, перечислены свойства данного разложения. Приводятся необходимые понятия алгебры многомерных матриц, данные в работе Н. П. Соколова; помимо этого, вводится пара новых определений, после чего на основании желаемых свойств и данных определений формулируются требования к искомому разложению. Предлагается способ нахождения сингулярного разложения пространственных матриц, использующий идеи разбиения матрицы на сечения; данный подход позволяет свести решаемую задачу к нахождению сингулярных разложений плоских матриц. Доказывается сохранение свойств данного разложения, приводится пример подобного разложения, после чего выдвигаются идеи о возможностях его применения и дальнейшего обобщения на случай произвольной размерности исходной матрицы.
Литература
2. Zakharov V., Munerman V. Parallel Implementation of Data Intensive Processing on the Basis of the Algebra of Multidimensional Matrices. In: Kalinichenko L.A., Starkov S.O. (eds.). Data Analytics and Management in Data Intensive Domains: XVII International Conference DAMDID/RCDL2015. Obninsk, Russia: Proceeding of the Conference. Obninsk: INPE NRNU MEPhI; 2015. p. С. 217-223. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24564996 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
3. Munerman V.I., Munerman D.V. The compliance of operations of multi-dimensional matrix algebra with operations of the relational data model. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2019;(20):209-214. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39103187 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
4. Kirillov E.V., Melnik K.V., Munerman V.I. Parallel association rules mining based on NUMA-architecture. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2019;(20-1):172-176. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39103178 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
5. Goncharov E.I., Munerman V.I., Samoylova T.A. The method of selecting parameters of multidimensional matrix for hill encryption algorithm. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2019;(20-1):111-116. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39103166 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
6. Korchits K.S., Mukha V.S. [Vector simply connected Markov chains]. Doklady BGUIR. 2003;1(3):102-105. Available at: https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/30997 (accessed 28.07.2022). (In Russ.)
7. Munerman V.I., Samoylova T.A. Algebraic approach to algorithmization of routing problems. Highly Available Systems. 2018;14(5):50-56. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.18127/j20729472-201805-08
8. Goncharov E.I. Multi-Dimensional Definition of Convolution. Modern Information Technologies and IT-Education. 2021;17(3):541-549. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202103.541-549
9. Taranenko A.A. Permanents of multidimensional matrices: Properties and applications. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2016;10(4):567-604. doi: https://doi.org/10.1134/S1990478916040141
10. Goncharov E.I. Realization the (λ, µ)-convolution product of matrixes by means of the (0, µ)-convolution product. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2022;(23):96-100. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=48621275 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
11. Goncharov E., Munerman V., Yakovlev G. Software and Hardware Complex for Calculating Convolutions by Methods Multidimensional Matrix Algebra. In: 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). St. Petersburg, Moscow, Russia: IEEE Computer Society; 2021. p. 2176-2180. doi: https://doi.org/10.1109/ElConRus51938.2021.9396584
12. Nikolaev K.S. Application of modern parallel technologies to the solution of the problem of multiplaying multidimensional matrices by the method of recursive descent. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2020;(21):183-188. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44237974 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
13. Goncharov E.I., Iljin P.L. Comparison of realisations of parallel multidimensional matrix multiplication algorithms. Computer Mathematics Systems and Their Applications. 2020;(21):102-109. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44237961 (accessed 28.07.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
14. Munerman V.I., Zakharov V.N. [Parallel Algorithm for Multidimensional Matrix Multiplication]. Modern Information Technologies and IT-Education. 2015;11(2):384-390. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26167519 (accessed 28.07.2022). (In Russ.)
15. De Lathauwer L., De Moor B., Vandewalle J. A Multilinear Singular Value Decomposition. SIAM journal on Matrix Analysis and Applications. 2000;21(4):1253-1278. doi: https://doi.org/10.1137/S0895479896305696
16. Tucker L.R. The extension of factor analysis to three-dimensional matrices. In: Frederiksen N., Gulliksen H. (eds.). Contributions to mathematical psychology. Vol. 110119. New York: Holt, Rinehart & Winston; 1964. p. 109-127.
17. Tucker L.R. Some mathematical notes on three-mode factor analysis. Psychometrika. 1966;31(3):279-311. doi: https://doi.org/10.1007/BF02289464
18. Tucker L.R. Implications of Factor Analysis of Three-Way Matrices for Measurement of Change. In: Harris C.W. Problems in Measuring Change. Vol. 15. Madison. Wisc: University of Wisconsin Press; 1963. p. 122-137.
19. Goncharov E. Iljin P., Munerman V. Multidimensional Matrix Algebra Versus Tensor Algebra or μ > 0. In: 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). St. Petersburg and Moscow, Russia: IEEE Computer Society; 2020. p. 1949-1954. doi: https://doi.org/10.1109/EIConRus49466.2020.9039478
20. Kim Y.-D., Choi S. Nonnegative Tucker Decomposition. In: 2007 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Minneapolis, MN, USA: IEEE Computer Society; 2007. p. 1-8. doi: https://doi.org/10.1109/CVPR.2007.383405
21. Bader B.W., Kolda T.G. Algorithm 862: MATLAB tensor classes for fast algorithm prototyping. ACM Transactions on Mathematical Software. 2006;32(4):635-653. doi: https://doi.org/10.1145/1186785.1186794
22. Kahu S., Rahate R. Image Compression Using Singular Value Decomposition. International Journal of Advancements in Research & Technology. 2013;2(8):244-248.
23. Newman M., Sardeshmukh P.D. A Caveat Concerning Singular Value Decomposition. Journal of Climate. 1995;8(2):352-360. Available at: http://www.jstor.org/stable/26199885 (accessed 28.07.2022).
24. Chandra D.V.S. Digital image watermarking using singular value decomposition. In: The 2002 45th Midwest Symposium on Circuits and Systems, 2002 (MWSCAS-2002). Tulsa, OK, USA: IEEE Computer Society; 2002. p. III-III. doi: https://doi.org/10.1109/MWSCAS.2002.1187023
25. Frolov E., Oseledets I. Fifty Shades of Ratings: How to Benefit from a Negative Feedback in Top-N Recommendations Tasks. In: Proceedings of the 10th ACM Conference on Recommender Systems (RecSys'16). New York, NY, USA: Association for Computing Machinery; 2016. p. 91-98. doi: https://doi.org/10.1145/2959100.2959170
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
