Неупорядоченные решения обобщенной модели Изинга с мультиспиновым взаимодействием

  • Pavel Vasilevich Khrapov Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет) http://orcid.org/0000-0002-6269-0727

Аннотация

В работе получены формулы для нахождения свободной энергии в термодинамическом пределе на множестве точных неупорядоченных решений (disorder solutions), зависящих от четырех параметров для 2D обобщенной модели Изинга во внешнем магнитном поле со взаимодействием ближайших соседей, следующих ближайших соседей (next nearest), всевозможных тройных взаимодействий и взаимодействия четырех спинов для плоской модели, и для 3D обобщенной модели Изинга во внешнем магнитном поле со всевозможными взаимодействиями в тетраэдре, образованном четырьмя спинами: в начале координат и ближайшие к нему по трем координатным осям в первом координатном октанте. Решеточные модели рассматриваются с граничными условиями со сдвигом (похожие на винтовые), и циклическим замыканием множества всех точек (в естественном упорядочении). В обоих случаях для плоской и 3D моделей построены элементарные трансфер-матрицы с неотрицательными матричными элементами, при этом свободная энергия в термодинамическом пределе равна натуральному логарифму максимального собственного значения трансфер-матрицы. Это максимальное собственное значение удается найти для специального вида собственного вектора с положительными компонентами. Описана область существования этих решений. На примерах показано существование нетривиальных решений получающихся систем уравнений для плоских и трехмерных обобщенных моделей Изинга. Система уравнений и значение свободной энергии в термодинамическом пределе останутся прежними для плоских и трехмерных моделей с гамильтонианами, в которых значение максимального в естественном упорядочении спина заменено значением спина практически в любой другой точке решетки, это значительно расширяет множество моделей, имеющих неупорядоченные точные решения. Высокая симметрия и повторяемость компонент найденных собственных векторов, исчезающая при выходе за рамки полученного множества точных решений, является поводом для поиска фазовых переходов в окрестности этого множества неупорядоченных решений.

Сведения об авторе

Pavel Vasilevich Khrapov, Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)

доцент кафедры высшей математики, кандидат физико-математических наук

Литература

[1] Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order–disorder transition. Physical Review.1944; 65(3-4):117-149. (In Eng.) DOI: 10.1103/Phys-Rev.65.117
[2] Wu F.Y. The Potts model. Reviews of Modern Physics. 1982; 54(1):235-268. (In Eng.) DOI: 10.1103/RevModPhys.54.235
[3] Baxter R.J. Exactly solved models in statistical mechanics. New York: Academic Press, 1982. (In Eng.)
[4] Verhagen A.M.W. An exactly soluble case of the triangular Ising model in a magnetic field. Journal of Statistical Physics. 1976; 15(3):219-231. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01012878
[5] Ruján P. Order and disorder lines in systems with competing interactions. III. Exact results from stochastic crystal growth. Journal of Statistical Physics. 1984; 34(3-4):615-646. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01018562
[6] Stephenson J. Ising-Model Spin Correlations on the Triangular Lattice. IV. Anisotropic Ferromagnetic and Antiferromagnetic Lattices. Journal of Mathematical Physics. 970; 11(2):420-431. (In Eng.) DOI: 10.1063/1.1665155
[7] Welberry T.R., Galbraith R. A two-dimensional model of crystal-growth disorder. Journal of Applied Crystallography. 1973; 6:87-96. (In Eng.) DOI: 10.1107/S0021889873008216
[8] Enting I.G. Triplet order parameters in triangular and honeycomb Ising models. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1977; 10(10):1737-1743. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/10/10/008
[9] Welberry T.R., Miller G.H. A Phase Transition in a 3D Growth-Disorder Model. Acta Crystallographica Section A: Foundations and Advances. 1978; A34:120-123. (In Eng.) DOI: 10.1107/S0567739478000212
[10] Forrester P.J., Baxter R.J. Further exact solutions of the eight-vertex SOS model and generalizations of the Rogers-Ramanujan identities. Journal of Statistical Physics. 1985; 38(3-4):435-472. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01010471
[11] Jaekel M.T., Maillard J.M. A criterion for disorder solutions of spin models. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1985; 18(8):1229-1238. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/18/8/023
[12] Baxter R.J. Disorder points of the IRF and checkerboard Potts models. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1984; 17(17):L911-L917. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/17/17/001
[13] Jaekel M.T., Maillard J.M. A disorder solution for a cubic Ising model. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1985; 18(4):641-651. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/18/4/013
[14] Jaekel M.T., Maillard J.M. Disorder solutions for Ising and Potts models with a field. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1985; 18(12):2271-2277. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/18/12/025
[15] Wu F.Y. Two-Dimensional Ising Model with Crossing and Four-Spin Interactions and a Magnetic Field i(π/2)kT. Journal of Statistical Physics. 1986; 44(3-4):455-463. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01011305
[16] Wu F.Y. Exact Solution of a Triangular Ising Model in a Nonzero Magnetic Field. Journal of Statistical Physics. 1985; 40(5-6):613-620. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01009892
[17] Bessis J.D., Drouffe J.M., Moussa P. Positivity constraints for the Ising ferromagnetic model. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1976; 9(12):2105-2124. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/9/12/015
[18] Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 1: Exact Results. Domb C., Green H.S. (eds). New York: Academic Press, 1972. 506 pp. (In Eng.)
[19] Dhar D., Maillard J.M. Susceptibility of the checkerboard Ising model. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1985; 18(7):L383-L388. (In Eng.) DOI: 10.1088/0305-4470/18/7/010
[20] Minlos R.A., Khrapov P.V. Cluster properties and bound states of the Yang-Mills model with compact gauge group. I. Theoretical and Mathematical Physics. 1984; 61(3):1261-1265. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01035013
[21] Khrapov P.V. Cluster expansion and spectrum of the transfer matrix of the two-dimensional ising model with strong external field. Theoretical and Mathematical Physics. 1984; 60(1):734-735. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01018259
[22] Katrakhov V.V., Kharchenko Yu.N. Two-dimensional fourline models of the Ising model type. Theoretical and Mathematical Physics. 2006; 149(2):1545-1558. (In Eng.) DOI: 10.1007/s11232-006-0137-y
[23] Khrapov P.V. Disorder Solutions for Generalized Ising and Potts Models with Multispin Interaction. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2019; 15(1):33-44. (In Eng.) DOI: 10.25559/SITITO.15.201901.33-44
[24] Levenberg K. A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares. Quarterly of Applied Mathematics. 1944; 2:164-168. (In Eng.) DOI: 10.1090/qam/10666
[25] Perron O. Zur Theorie der Matrices. Mathematische Annalen. 1907; 64(2):248-263. (In Eng.) DOI: 10.1007/BF01449896
Опубликована
2019-07-25
Как цитировать
KHRAPOV, Pavel Vasilevich. Неупорядоченные решения обобщенной модели Изинга с мультиспиновым взаимодействием. Международный научный журнал «Современные информационные технологии и ИТ-образование», [S.l.], v. 15, n. 2, p. 312-319, july 2019. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/542>. Дата доступа: 21 nov. 2019 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.15.201902.312-319.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук