Устойчивость системы Валлиса
Аннотация
В работе предложен вариационный метод получения необходимых (и достаточных) условий устойчивости возмущенных решений системы уравнений Валлиса. Этот метод позволяет установить необходимые условия устойчивости по Ляпунову. Он является эффективным даже в случаях, когда применение классического метода Ляпунова вызывает трудности, связанные с построением функции Ляпунова или с неточностями линеаризации по Тейлору, что характерно для динамических систем большой размерности.
В ряде случаев этот метод можно применить для нахождения областей фазовых переменных, в которых необходимые условия совпадают с достаточными условиями устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову.
В этих случаях сама метрическая функция, как это показано в настоящей работе, может играть роль функции Ляпунова для получения достаточных условий устойчивости.
Литература
2. Smol'yakov E.R. Jeffektivnyj metod ustojchivosti sushhestvenno nelinejnyh dinamicheskih sistem [An efficient method of stability analysis for highly nonlinear dynamic systems]. Kibernetika i sistemnyj analiz = Cybernetics and Systems Analysis. 2019; 55(4):15-23. (In Russ.)
3. Vallis G.K. El Niño: A Chaotic Dynamical System? Science. 1986; 232(4747):243-245. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1126/science.232.4747.243
4. Tikhomirov V.V., Isaev R.R. Application of the variational method for studying stability of the 3D Lotka – Volterra system. Proceedings of the International Conference on Actual Problems of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics. VSU, Voronezh; 2021. p. 17-21. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=46371385 (accessed 10.01.2022). (In Eng.)
5. Tikhomirov V.V., Isaev R.R., Maltseva A.V., Nefedov V.V. Stability of the Lorentz System. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2021; 17(2):241-249. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202102.241-249
6. Kalantarov V.K., Yilmaz Y. Decay and growth estimates for solutions of second-order and third-order differential-operator equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2013; 89:1-7. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/j.na.2013.04.016
7. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences. 1963; 20:130-141. Available at: https://cdanfort.w3.uvm.edu/research/lorenz-1963.pdf (accessed 10.01.2022). (In Eng.)
8. Arnold V.I. Teorija katastrof [Catastrophe Theory]. Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr. Vol. 5. VINITI, Moscow; 1985. p. 5-218. (In Russ.)
9. Zhu C., Liu Y., Guo Y. Theoretic and Numerical Study of a New Chaotic System. Intelligent Information Management. 2010; 2(2):104-109. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.4236/iim.2010.22013
10. Wang C., Liu J.G., Johnston H. Analysis of a fourth order finite difference method for the incompressible Boussinesq equations. Numerische Mathematik. 2004; 97(3):555-594. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/s00211-003-0508-3
11. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Transition to chaos in nonlinear dynamical systems described by ordinary differential equations. Computational Mathematics and Modeling. 2007; 18(2):128-147. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/s10598-007-0014-z
12. Sidorov S.V. Structure of solutions and dynamic chaos in nonlinear differential equations. Vestnik Rossijskogo universiteta druzhby narodov. Serija: Matematika, informatika, fizika = RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics. 2013; (2):45-63. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18932923 (accessed 10.01.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
13. Magnitskii N.A. Universal theory of dynamical chaos in nonlinear dissipative systems of differential equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2008; 13(2):416-433. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2006.05.006
14. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov, S.V. On the nature of turbulence in Rayleigh-Benard convection. Differential Equations. 2009; 45(6):909-912. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1134/S0012266109060135
15. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. On possible scenarios of the transition to turbulence in Rayleigh-Bénard convection. Doklady Mathematics. 2010; 82(1):659-662. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1134/S106456241004040X
16. Kaloshin D.A., Magnitskii N.A. A Complete Bifurcation Diagram of Nonlocal Bifurcations of Singular Points in the Lorenz System. Computational Mathematics and Modeling. 2011; 22(4):444-453. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/s10598-011-9112-z
17. Kaloshin D.A. On the construction of a bifurcation surface of existence of heteroclinic saddle-focus contours in the Lorenz system. Differential Equations. 2004; 40(12):1790-1793. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/s10625-005-0112-7
18. Chen X. Lorenz Equations Part I: Existence and Nonexistence of Homoclinic Orbits. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1996; 27(4):1057-1069. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1137/S0036141094264414
19. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear dynamics of laminar-turbulent transition in three dimensional Rayleigh-Benard convection. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010; 15(10):2851-2859. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2009.10.022
20. Hirata Y., Judd K. Constructing dynamical systems with specified symbolic dynamics. Chaos. 2005; 15(3):033102. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1063/1.1944467
21. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences. Vol. 42. Springer, New York, NY; 1983. 462 p. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2
22. Shil'nikov A., Shil'nikov L., Turaev D. Normal forms and Lorenz attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993; 03(05):1123-1139. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1142/S0218127493000933
23. Sparrou C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences. Vol. 41. Springer, New York, NY; 1982. 270 p. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5767-7
24. Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. 3rd ed. Academic Press, Elsevier; 2013. 432 p. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.1016/C2009-0-61160-0
25. Firsov A.N., Inovenkov I.N., Tikhomirov V.V., Nefedov V.V. Numerical Study of the Effect of Stochastic Disturbances on the Behavior of Solutions of Some Differential Equations. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2021; 17(1):37-43. (In Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202101.730
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
