Устойчивость системы Лоренца
Аннотация
В работе предложен вариационный метод получения необходимых (и достаточных) условий устойчивости возмущенных решений системы уравнений Лоренца. Этот метод позволяет установить необходимые условия устойчивости по Ляпунову. Он является эффективным даже в случаях, когда применение классического метода Ляпунова вызывает трудности, связанные с построением функции Ляпунова или с неточностями линеаризации по Тейлору, что характерно для динамических систем большой размерности.
В ряде случаев этот метод можно применить для нахождения областей фазовых переменных, в которых необходимые условия устойчивости совпадают с достаточными условиями устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову.
В этих случаях сама метрическая функция, как это показано в настоящей работе, может играть роль функции Ляпунова для получения достаточных условий устойчивости.
Литература
2. Arnold V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij [Additional chapters of the theory of ordinary differential equations]. Moscow, Nauka; 1978. 304 p. (In Russ.)
3. Arnold V.I. Teorija katastrof [Catastrophe Theory]. Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., vol. 5. VINITI, Moscow; 1985. p. 5-218. (In Russ.)
4. Berge P., Pomeau Y., Vidal C. Order within Chaos. Wiley-VCH, 1987. 329 p. (In Eng.)
5. Bylov B.F., Vinograd R.E., Grobman D.M., Nemyckii V.V. Teorija pokazatelej Ljapunova i ee prilozhenija k voprosam ustojchivosti [Theory of Ljapunov exponents and its application to problems of stability]. Izdat. Nauka, Moscow; 1966. 576 p. (In Russ.)
6. Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Konvektivnaja ustojchivost' neszhimaemoj zhidkosti [Convective Stability of Incompressible Fluids]. IPST; 1976. 336 p. (In Russ.)
7. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov S.V. On the nature of turbulence in Rayleigh-Benard convection. Differential Equations. 2009; 45(6):909-912. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266109060135
8. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. On possible scenarios of the transition to turbulence in Rayleigh-Bénard convection. Doklady Mathematics. 2010. 82(1):659-662. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S106456241004040X
9. Kaloshin D.A., Magnitskii N.A. A Complete Bifurcation Diagram of Nonlocal Bifurcations of Singular Points in the Lorenz System. Computational Mathematics and Modeling. 2011; 22(4):444-453. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s10598-011-9112-z
10. Magnitskii N.A. Teorija dinamicheskogo haosa [Theory of Dynamical Chaos]. URSS, Moscow; 2011. 320 p. (In Russ.)
11. Magnitskii N.A. Universal theory of dynamical chaos in nonlinear dissipative systems of differential equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2008; 13(2):416-433. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2006.05.006
12. Samarsky A.A., Gilin A.V. Chislennye metody [Numerical Methods]. Izdat. Nauka, Moscow; 1989. 430 p. (In Russ.)
13. Smol'yakov E.R. An efficient method of stability analysis for highly nonlinear dynamic systems. Kibernetika i sistemnyj analiz. 2019; 55(4):15-23. (In Russ., abstract in Eng.)
14. Simo K., Shensine A. et al. Sovremennyie problemyi haosa i nelineynosti [Modern problems of chaos and nonlinearity]. ICS, Izhevsk; 2002. 304 p. (In Russ.)
15. Shil'nikov, L.P. Teorija bifurkacij v modeli Lorenca [Bifurcation theory and the Lorentz model]. In: Ed. by J. Marsden, M. McCraken. Bifurcation of the cycle generation and its applications. Mir, Moscow; 1980. p. 317-335 . (In Russ.)
16. Schuster H.G. Deterministic Chaos: An Introduction. 3rd Ed. Wiley-VCH; 1995. 320 p. (In Eng.)
17. Chetaev N.G. Ustojchivost' dvizhenija. Raboty po analiticheskoj mehanike [Stability of Motion. Works in Analytical Mechanics]. Izdat. AN SSSR, Moscow; 1962. 535 p. (In Russ.)
18. Chen X. Lorenz Equations Part I: Existence and Nonexistence of Homoclinic Orbits. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1996; 27(4):1057-1069. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1137/S0036141094264414
19. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear dynamics of laminar-turbulent transition in three dimensional Rayleigh-Benard convection. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010; 15(10);2851-2859. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2009.10.022
20. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics. World Scientific Publishing Co., Singapore; 2006. 384 p. (In Eng.)
21. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 42. Springer, New York, NY; 1983. 462 p. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2
22. Tikhomirov V.V., Isaev R.R. Primenenie variacionnogo metoda dlja issledovanija ustojchivosti sistemy Lotki – Val'tery (dlja 3 izmerenij) [Application of the variational method for studying stability of the 3D Lotka – Volterra system]. Proceedings of the International Conference on Modern Methods of Mathematical Physics and their Applications, vol. 2. Tashkent; 2020. p. 204-209. (In Russ.)
23. Shil'nikov A., Shil'nikov L., Turaev D. Normal forms and Lorenz attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993; 03(05):1123-1139. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127493000933
24. Sparrou C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, vol. 41. Springer, New York, NY; 1982. 270 p. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5767-7
25. Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, Elsevier; 2004. 417 p. (In Eng.)
26. Firsov A.N., Inovenkov I.N., Tikhomirov V.V., Nefedov V.V. Numerical Study of the Effect of Stochastic Disturbances on the Behavior of Solutions of Some Differential Equations. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2021; 17(1):37-43. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202101.730
27. Bliss G.A. Lectures on the calculus of variations. University of Chicago Press; 1947. 296 p. (In Eng.)
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
