Устойчивость системы Лоренца

Аннотация

В работе предложен вариационный метод получения необходимых (и достаточных) условий устойчивости возмущенных решений системы уравнений Лоренца. Этот метод позволяет установить необходимые условия устойчивости по Ляпунову. Он является эффективным даже в случаях, когда применение классического метода Ляпунова вызывает трудности, связанные с построением функции Ляпунова или с неточностями линеаризации по Тейлору, что характерно для динамических систем большой размерности.
В ряде случаев этот метод можно применить для нахождения областей фазовых переменных, в которых необходимые условия устойчивости совпадают с достаточными условиями устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову.
В этих случаях сама метрическая функция, как это показано в настоящей работе, может играть роль функции Ляпунова для получения достаточных условий устойчивости.

Сведения об авторах

Vasiliy Vasilevich Tikhomirov, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

доцент кафедры общей математики, факультет вычислительной математики и кибернетики, кандидат физико-математических наук, доцент

Rustam Ruslanovich Isaev, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

студент факультета вычислительной математики и кибернетики

Anna Vsevolodovna Maltseva, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

младший научный сотрудник кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления, факультет вычислительной математики и кибернетики

Vladimir Vadimovich Nefedov, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

доцент кафедры автоматизации научных исследований, факультет вычислительной математики и кибернетики, кандидат физико-математических наук, доцент

Литература

1. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences. 1963; 20:130-141. Available at: https://www.astro.puc.cl/~rparra/tools/PAPERS/lorenz1962.pdf (accessed 14.03.2021). (In Eng.)
2. Arnold V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij [Additional chapters of the theory of ordinary differential equations]. Moscow, Nauka; 1978. 304 p. (In Russ.)
3. Arnold V.I. Teorija katastrof [Catastrophe Theory]. Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., vol. 5. VINITI, Moscow; 1985. p. 5-218. (In Russ.)
4. Berge P., Pomeau Y., Vidal C. Order within Chaos. Wiley-VCH, 1987. 329 p. (In Eng.)
5. Bylov B.F., Vinograd R.E., Grobman D.M., Nemyckii V.V. Teorija pokazatelej Ljapunova i ee prilozhenija k voprosam ustojchivosti [Theory of Ljapunov exponents and its application to problems of stability]. Izdat. Nauka, Moscow; 1966. 576 p. (In Russ.)
6. Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Konvektivnaja ustojchivost' neszhimaemoj zhidkosti [Convective Stability of Incompressible Fluids]. IPST; 1976. 336 p. (In Russ.)
7. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov S.V. On the nature of turbulence in Rayleigh-Benard convection. Differential Equations. 2009; 45(6):909-912. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266109060135
8. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. On possible scenarios of the transition to turbulence in Rayleigh-Bénard convection. Doklady Mathematics. 2010. 82(1):659-662. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/S106456241004040X
9. Kaloshin D.A., Magnitskii N.A. A Complete Bifurcation Diagram of Nonlocal Bifurcations of Singular Points in the Lorenz System. Computational Mathematics and Modeling. 2011; 22(4):444-453. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/s10598-011-9112-z
10. Magnitskii N.A. Teorija dinamicheskogo haosa [Theory of Dynamical Chaos]. URSS, Moscow; 2011. 320 p. (In Russ.)
11. Magnitskii N.A. Universal theory of dynamical chaos in nonlinear dissipative systems of differential equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2008; 13(2):416-433. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2006.05.006
12. Samarsky A.A., Gilin A.V. Chislennye metody [Numerical Methods]. Izdat. Nauka, Moscow; 1989. 430 p. (In Russ.)
13. Smol'yakov E.R. An efficient method of stability analysis for highly nonlinear dynamic systems. Kibernetika i sistemnyj analiz. 2019; 55(4):15-23. (In Russ., abstract in Eng.)
14. Simo K., Shensine A. et al. Sovremennyie problemyi haosa i nelineynosti [Modern problems of chaos and nonlinearity]. ICS, Izhevsk; 2002. 304 p. (In Russ.)
15. Shil'nikov, L.P. Teorija bifurkacij v modeli Lorenca [Bifurcation theory and the Lorentz model]. In: Ed. by J. Marsden, M. McCraken. Bifurcation of the cycle generation and its applications. Mir, Moscow; 1980. p. 317-335 . (In Russ.)
16. Schuster H.G. Deterministic Chaos: An Introduction. 3rd Ed. Wiley-VCH; 1995. 320 p. (In Eng.)
17. Chetaev N.G. Ustojchivost' dvizhenija. Raboty po analiticheskoj mehanike [Stability of Motion. Works in Analytical Mechanics]. Izdat. AN SSSR, Moscow; 1962. 535 p. (In Russ.)
18. Chen X. Lorenz Equations Part I: Existence and Nonexistence of Homoclinic Orbits. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1996; 27(4):1057-1069. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1137/S0036141094264414
19. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear dynamics of laminar-turbulent transition in three dimensional Rayleigh-Benard convection. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010; 15(10);2851-2859. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2009.10.022
20. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics. World Scientific Publishing Co., Singapore; 2006. 384 p. (In Eng.)
21. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 42. Springer, New York, NY; 1983. 462 p. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2
22. Tikhomirov V.V., Isaev R.R. Primenenie variacionnogo metoda dlja issledovanija ustojchivosti sistemy Lotki – Val'tery (dlja 3 izmerenij) [Application of the variational method for studying stability of the 3D Lotka – Volterra system]. Proceedings of the International Conference on Modern Methods of Mathematical Physics and their Applications, vol. 2. Tashkent; 2020. p. 204-209. (In Russ.)
23. Shil'nikov A., Shil'nikov L., Turaev D. Normal forms and Lorenz attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993; 03(05):1123-1139. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127493000933
24. Sparrou C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, vol. 41. Springer, New York, NY; 1982. 270 p. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5767-7
25. Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, Elsevier; 2004. 417 p. (In Eng.)
26. Firsov A.N., Inovenkov I.N., Tikhomirov V.V., Nefedov V.V. Numerical Study of the Effect of Stochastic Disturbances on the Behavior of Solutions of Some Differential Equations. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2021; 17(1):37-43. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202101.730
27. Bliss G.A. Lectures on the calculus of variations. University of Chicago Press; 1947. 296 p. (In Eng.)
Опубликована
2021-06-30
Как цитировать
TIKHOMIROV, Vasiliy Vasilevich et al. Устойчивость системы Лоренца. Современные информационные технологии и ИТ-образование, [S.l.], v. 17, n. 2, p. 241-249, june 2021. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/739>. Дата доступа: 28 feb. 2024 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202102.241-249.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук