Эффективный метод исследования экстремальных задач

Аннотация

Гомотопический метод (или метод продолжения по параметру) хронологически берет начало в середине 19 столетия и активно развивается по настоящее время. В настоящей работе рассматривается деформационный (гомотопический) метод исследования экстремальных задач. Примеры применения этого метода иллюстрируются для известных задач нелинейного анализа. Одна из наиболее общих и эффективных схемприменения гомотопического метода к качественному исследованию операторных уравнений (с вполне непрерывным оператором) принадлежит Лере и Шаудеру. В этой схеме параметр включается линейно. В работе приводятся примеры приложений гомотопического метода к исследованию экстремальных задач вариационного исчисления. При этом используется следующая основная конструкция: если в процессе деформации вариационной задачи ее экстремаль остается изолированной и при каком-либо значении параметра деформации эта экстремаль реализует минимум, то она реализует минимум исследуемой вариационной задачи при всех значениях параметра.

Сведения об авторах

Vladimir Vadimovich Nefedov, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

доцент кафедры автоматизации научных исследований факультета вычислительной математики и кибернетики, кандидат физико-математических наук, доцент

Vasiliy Vasilevich Tikhomirov, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

доцент кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики, кандидат физико-математических наук, доцент

Литература

1. Tikhomirov V.V., Isaev R.R., Maltseva A.V., Nefedov V.V. [Stability of the Lorentz System]. In: Proceedings of the International Conference on Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. Wellborn LLC, Voronezh; 2022. p. 90-98. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=49273907 (accessed 24.08.2022). (In Russ.)
2. Smol'yakov E.R. An Efficient Method for Stability Analysis of Highly Nonlinear Dynamic Systems. Cybernetics and Systems Analysis. 2019;55(4):531-538. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-019-00161-4
3. Bobylyov N.А. A Deformational Approach to Investigation of Nonlinear Programming Problems. II. Avtomatika i Telemehanika. 1989;(8):24-33. Available at: https://www.mathnet.ru/links/9648e225acb9e506e8b693e3fd53b121/at6364.pdf (accessed 24.08.2022). (In Russ., abstract in Eng.)
4. Bobylev N.A., Korovin S.K., Skalyga V.I. A homotopic method of studying multivalued problems. Automation and Remote Control. 1996;57(10):1513-1521.
5. Bobylev N.A., Emel'yanov S., Korovin S.K. An Approach to Variational Problems. Differential Equations. 2001;37(11):1526-1534. doi: https://doi.org/10.1023/A:1017904429352
6. Skopin V.A. The Equivalence of Causal and Ordinary Invertibility for Integral Convolution Operators.  Differential Equations. 2001;37(9):1331-1339. doi: https://doi.org/10.1023/A:1012538216183
7. Matveev S.V., Fomenko A.T. Morse-type theory for integrable Hamiltonian systems with tame integrals. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1988;43(5):382-386. doi: https://doi.org/10.1007/BF01158846
8. Nefedov V.V., Tikhomirov V.V., Maximova Ya.D. Stability of the Vallis System. Modern Information Technologies and IT-Education. 2022;18(1):13-19. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202201.13-19
9. Firsov A.N., Inovenkov I.N., Tikhomirov V.V., Nefedov V.V. Numerical Study of the Effect of Stochastic Disturbances on the Behavior of Solutions of Some Differential Equations. Modern Information Technologies and IT-Education. 2021;17(1):37-43. doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202101.730
10. Tikhomirov V.V., Isaev R.R., Maltseva A.V., Nefedov V.V. Stability of the Lorentz System. Modern Information Technologies and IT-Education. 2021;17(2):241-249. (In Russ., abstract in Eng.) doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202102.241-249
11. Nefedov V.V., Tikhomirov V.V., Isaev R.R. [Optimization of the system of Lorentz equations]. In: Proceedings of the International Conference on Differential Equations, Mathematical Modeling and Computational Algorithms. BSU Publ., Belgorod; 2021. p. 197. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=49839790 (accessed 24.08.2022). (In Russ.)
12. Chen X. Lorenz Equations Part I: Existence and Nonexistence of Homoclinic Orbits. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1996;27(4):1057-1069. doi: https://doi.org/10.1137/S0036141094264414
13. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences. Vol. 42. Springer, New York, NY; 1983. 462 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2
14. Liao S. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations. Springer Berlin, Heidelberg; 2012. 400 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-642-25132-0
15. Marinca V., Herişanu N. Nonlinear dynamic analysis of an electrical machine rotor-bearing system by the optimal homotopy perturbation method. Computers & Mathematics with Applications. 2011;61(8):2019-2024. doi: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.056
16. Kalantarov V.K., Yilmaz Y. Decay and growth estimates for solutions of second-order and third-order differential-operator equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2013;89:1-7. doi: https://doi.org/10.1016/j.na.2013.04.016
17. Shil’nikov A., Shil’nikov L., Turaev D. Normal forms and Lorenz attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993;03(05):1123-1139. doi: https://doi.org/10.1142/S0218127493000933
18. Sparrou C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences. Vol. 41. Springer, New York, NY; 1982. 270 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5767-7
19. Nefedov V.V., Tikhomirov V.V. [On one variational method for studying the stability of the Wallis system]. In: Proceedings of the International Conference on Tikhonovskie chteniya. MSU, MAKS Press, Moscow; 2022. p. 24-25. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=49717862 (accessed 24.08.2022). (In Russ.)
20. He X.-Q., Jia W.J. Homotopy perturbation method for solving singular linear quadratic optimal control problems. In: 2016 35th Chinese Control Conference (CCC). IEEE Computer Society, Chengdu, China; 2016. p. 2505-2509. doi: https://doi.org/10.1109/ChiCC.2016.7553740
21. Ghomanjani F., Ghaderi S., Farahi M.H. Solving the Optimal Control of Linear Systems via Homotopy Perturbation Method . Intelligent Control and Automation. 2012;3(1):26-33. doi: https://doi.org/10.4236/ica.2012.31004
22. Saberi Nik H., Effati S., Yildirim A. Solution of linear optimal control systems by differential transform method. Neural Computing & Applications. 2013;23(5):1311-1317. doi: https://doi.org/10.1007/s00521-012-1073-4
23. Marinca V., Herisanu N. Optimal Homotopy Asymptotic Method. In: The Optimal Homotopy Asymptotic Method. Springer, Cham; 2015. p. 9-22. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-15374-2_2
24. Qiu Z., Jiang N. A symplectic homotopy perturbation method for stochastic and interval Hamiltonian systems and its applications in structural dynamic systems. Computational and Applied Mathematics. 2022;41(8):363. doi: https://doi.org/10.1007/s40314-022-02079-8
25. Patil S.J., Kashyap A.R.V., Kolwankar K.M. Homotopy Analysis Method For Oscillatory Systems With Cubic and Trigonometric Non-Linearity. In: Mukherjee S., Datta A., Manna S., Sahoo S.K. (eds.) Computational Mathematics, Nanoelectronics, and Astrophysics. CMNA 2018. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 342. Springer, Singapore; 2021. p. 25-45. doi: https://doi.org/10.1007/978-981-15-9708-4_3
Опубликована
2022-12-20
Как цитировать
NEFEDOV, Vladimir Vadimovich; TIKHOMIROV, Vasiliy Vasilevich. Эффективный метод исследования экстремальных задач. Современные информационные технологии и ИТ-образование, [S.l.], v. 18, n. 4, p. 717-724, dec. 2022. ISSN 2411-1473. Доступно на: <http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/890>. Дата доступа: 24 june 2024 doi: https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202204.717-724.
Раздел
Теоретические вопросы информатики, прикладной математики, компьютерных наук