Нарушение единственности решений для математической модели движения аэродинамического маятника в потоке квазистатической среды

Аннотация

В статье построена и исследована математическая модели малых колебаний аэродинамического маятника в потоке движущейся среды. В качестве модели воздействия среды на тело принята модель квазистатического обтекания пластинки средой. Согласно этой гипотезе, аэродинамические силы, действующие на тело, прикладываются в центре давления. В нашей задаче центр давления является подвижным относительно пластинки. Получены уравнения движения для рассматриваемого тела. Проведен переход к новым безразмерным переменным. Показано нарушение единственности при определении угла атаки в точках, где воздушная скорость центра давления близка к нулю. Построены некоторые области неоднозначности с помощью многократного решения алгебраических нелинейных уравнений полученных из кинематических соотношений. Такой способ создания областей неоднозначности достаточно трудоемкий и не позволяет это делать в широких пределах фазовых переменных. Более легкий способ работы с областями неоднозначности возможен, если определить координаты точек возврата и изобразить границы областей неоднозначности в виде двух огибающих. Подробно описан алгоритм получения этих огибающих. В математическом пакете MATLAB 18 написана программа, которая строит верхнюю и нижнюю границы областей неоднозначности. С ее помощью проведен их параметрический анализ складок при различных значениях фазовых переменных. Показано, что размеры полученных областей неоднозначности невелики. Указано, что изменение угла атаки при интегрировании должно носить непрерывный характер, иначе происходит сбой в поиске численного решения. Также создан комплекс программ, позволяющий строить области неоднозначности с помощью многократного решения нелинейного уравнения. Таким образом, разработана математическая модель колебаний пластинки и проведен геометрический анализ поверхностей и складок, с помощью комплекса программ на базе специализированной системы компьютерной математики MATLAB 18. Таким образом, рассмотрена очень интересная задача в которой существует многозначность угла атаки, что более понятно если мы рассматриваем механическую интерпретацию, но нетривиально с точки зрения общей теории решения дифференциальных уравнений.