МНОГОСЛОЙНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В ГРАНУЛЕ ПОРИСТОГО КАТАЛИЗАТОРА
Аннотация
В данной статье мы проводим сравнительный анализ новых методов построения приближённых решений дифференциальных уравнений. В качестве тестовой задачи мы выбрали краевую задачу для существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Данная проблема возникла при моделировании процессов обмена тепла и массы в плоской грануле пористого катализатора. Ранее мы решали эту задачу с помощью искусственных нейронных сетей, используя её как модельную задачу для апробации разработанных нами методов. Наш универсальный нейросетевой подход был применён к данной задаче как в случае постоянных параметров, так и для параметров, изменяющихся в некоторых интервалах. В случае постоянных параметров результат совпал с данными, имеющимися в литературе по данной тематике. Модели с переменными параметрами, являющимися частью входов нейронных сетей, были впервые построены в наших работах. Одним из существенных недостатков такого подхода является большая ресурсоёмкость процесса обучения нейронных сетей. В данной работе рассматривается разработанный нами новый подход, позволяющий обойтись без процедуры обучения. Наш подход основан на модификации известных численных методов – на применении классических формул численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений к интервалу изменения аргумента с переменным верхним пределом. В результате получается приближённая математическая модель в виде функции, причём параметры задачи входят в число аргументов функции. В данной статье мы показали, что новые методы имеют существенные преимущества. Мы рассмотрели два таких метода. Один метод основан на нейросетевой модификации метода пристрелки. Второй метод отличается тем, что пристрелка ведётся с двух сторон промежутка. Для полученных моделей характерны простота и широкая область изменения параметров, для которых они пригодны. Построенные нами модели могут быть легко адаптированы под данные наблюдений за реальными объектами.
Литература
[2] Jahanshahi M., Nazari D., Aliev N. A special successive approximations method for solving boundary value problems including ordinary differential equations. Mathematical Sciences. 2013; 7:42. DOI: https://doi.org/10.1186/2251-7456-7-42
[3] Kubíček M., Hlaváček V. Solution of nonlinear boundary value problems. Part VIII. Evaluation of branching points based on shooting method and GPM technique. Chemical Engineering Science. 1974; 29(8):1695-1699. DOI: https://doi.org/10.1016/0009-2509(74)87027-2
[4] White R.E., Subramanian V.R. Boundary Value Problems. Computational Methods in Chemical Engineering with Maple. 2010. p. 169-294. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-04311-6
[5] März R. Differential-Algebraic Equations from a Functional-Analytic Viewpoint: A Survey. In: Ilchmann A., Reis T. (eds) Surveys in Differential-Algebraic Equations II. Differential-Algebraic Equations Forum. Springer, Cham, 2015. p. 163-285. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-11050-9_4
[6] Aris R. Introduction to Analysis of Chemical Reactors, Englewood Cliffs, NY: Prentice-Hall, 1965. Translated under the title Analiz protsessov v khimicheskii reaktorakh, Moscow: Khimiya, 1967.
[7] Hlaváček V., Marek M., Kubíček M. Modelling of chemical reactors. Part X. Multiple solutions of enthalpy and mass balances for a catalytic reaction within a porous catalyst particle. Chemical Engineering Science. 1968; 23(9):1083-1097. DOI: https://doi.org/10.1016/0009-2509(68)87093-9
[8] Slin’ko M.G. History of the development of mathematical modeling of catalytic processes and reactors. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007; 41(1):13–29. DOI: https://doi.org/10.1134/S0040579507010022
[9] Antonio Gilson Barbosa de Lima, Laércio Gomes de Oliveira, Wagner Celso Paiva Barbosa de Lima. Heat Transfer in a Packed-Bed Cylindrical Reactor of Elliptic Cross Section: Mathematical Modeling and Simulation // Materials with Complex Behaviour II, 2012. p. 549-571. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-22700-4_34
[10] Myron B. Allen III. Numerical Modeling of Multiphase Flow in Porous Media / J. Bear, M.Y. Corapcioglu // Advances in Transport Phenomena in Porous Media, 1987. Vol. 128. p. 849-920. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-009-3625-6_19
[11] Carbonell R.G., Whitaker S. Heat and Mass Transfer in Porous Media // Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, 1984. Vol. 82. p. 121-198. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-009-6175-3_3
[12] Gorin V., Nakoryakov V.E., Khoruzhenko A.G., Tsoi O.N. Heat transfer during mixed convection on a vertical surface in a porous medium with deviation from Darcy's law. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1988; 29(1):133–139. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00909706
[13] Himmelblau David M. Applications of artificial neural networks in chemical engineering. Korean Journal of Chemical Engineering. 2000; 17(4):373–392. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02706848
[14] Dreyfus G. Modeling with Neural Networks: Principles and Model Design Methodology. Neural Networks. 2005. p. 85-201. DOI: 10.1007/3-540-28847-3
[15] Yadav Neha, Yadav Anupam, Kumar Manoj. Neural Network Methods for Solving Differential Equations // An Introduction to Neural Network Methods for Differential Equations, 2015. p. 43-100. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-9816-7
[16] Suzuki Yoshiro. Neural network-based discretization of nonlinear differential equations. Neural Computing and Applications. October, 2017. p. 1–16. DOI: https://doi.org/10.1007/s00521-017-3249-4
[17] Lucie P. Aarts, Peter van der Veer. Neural Network Method for Solving Partial Differential Equations. Neural Processing Letters. 2001; 14(3):261–271. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012784129883
[18] Griffiths D., Higham D. Euler’s Method // Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 2010. p. 19-31. DOI: 10.1007/978-0-85729-148-6
[19] Shemyakina T.A., Tarkhov D.A., Vasilyev A.N. Neural Network Technique for Processes Modeling in Porous Catalyst and Chemical Reactor // Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): LNCS 9719, 2016. p. 547–554.
[20] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. Neural network modeling. Principles. Algorithms. App. SPb.: Publishing house SPbSPU, 2009. 528 p. (In Russian)
[21] Dmitriev S.S., Kuznetsov E.B. Heat-and-mass transfer in porous catalyst. Proceedings of the VI International conference on nonequilibrium processes in nozzles and jets – NPNJ-2006. St. Petersburg. M.: University book, 2006. p. 159-160. (In Russian)
[22] Na T.Y. Computational methods in engineering. Boundary value problems. Academic press: A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco, 1979. 310 p.
[23] Carberry J.J. Physico-Chemial Aspects of Mass and Heat Transfer in Heterogeneous Catalysis. Catalysis. 1987; 8:131-171. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-93278-6_3
[24] Kaviany M. Convection Heat Transfer // Principles of Heat Transfer in Porous Media, 1995. p. 157-258. DOI: 10.1007/978-1-4612-4254-3
[25] Lazovskaya T.V., Tarkhov D.A. Multilayer neural network models based on grid methods. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2016; 158(1):1-7. DOI: https://doi:10.1088/1757-899X/158/1/012061
[26] Lahaye M.E. Solution of systems of transcendental equations. Academie Royale de Belgique. Bulletin de la Classe des Sciences. 1948; 5:805-822.
[27] Kuznetsov E.B. The best parameterization in curve construction by iteration method. Doklady Akademii Nauk. 2004; 396(6):746-748. (In Russian)
[28] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. The solution to the problem of heat-and-mass transfer in porous catalyst on the basis of neural network approach. Proceedings of the VII International conference on nonequilibrium processes in nozzles and jets – NPNJ-2008. Alushta. M.: Publishing house MAI, 2008. p. 105-107. (In Russian)
[29] Khudyaev S.I. Threshold phenomena in nonlinear equations. M.: Science, 2003. 268 p. (In Russian)
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
