СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЖЁСТКОЙ ЗАДАЧИ НА СФЕРЕ МНОГОСЛОЙНЫМ МЕТОДОМ И МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО НАИЛУЧШЕМУ ПАРАМЕТРУ
Аннотация
Жёсткие задачи, связанные с решением сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений при применении стандартных методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто приводят к существенным трудностям. Первой трудностью является потеря устойчивости вычислительного процесса, когда небольшие ошибки на отдельных шагах приводят к неконтролируемому росту погрешности вычислений в целом. Другая трудности, непосредственно связанная с первой, состоит в необходимости сильно уменьшать шаг интегрирования, что приводит к сильному замедлению вычислительного процесса. На примере одной жёсткой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка на сфере проводится сравнение наших двух подходов к построению приближённых решений. Первый подход связан с построением приближённого многослойного решения задачи и основан на применении рекуррентных равенств, вытекающих из классических численных методов к интервалу переменной длины. В результате численное приближённое решение заменяется приближённым решением в виде функции, которую удобнее использовать для адаптации, построения графиков и других целей. Второй подход связан с продолжением решений по наилучшему параметру. Данный подход позволяет существенно сократить число шагов и повысить устойчивость вычислительного процесса по сравнению со стандартными методами.
Литература
[2] Tikhonov A.N. Dependence of solutions of differential equations on a small parameter. Sbornik: Mathematics. 1948; 22(64)-2:193-204. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6075&option_lang=rus (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[3] Tikhonov A.N. On systems of differential equations containing parameters. Sbornik: Mathematics. 1950; 27(69)-1:147-156. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5907&option_lang=rus (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[4] Tikhonov A.N. Systems of differential equations containing small parameters for derivatives. Sbornik: Mathematics. 1952; 31(73)-3:575-586. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5548&option_lang=rus (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[5] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asymptotic methods in the theory of singular perturbations. M.: Higher School, 1990. 208 p. (In Russian)
[6] Vasilyeva A.B., Plotnikov A.A. Asymptotic theory of singularly perturbed problems. M.: Physics Faculty of Moscow State University, 2008. 398 p. (In Russian)
[7] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Contrast structures in singularly perturbed problems. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika = Fundamental and Applied Mathematics. 1998; 4(3):799-851. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=fpm&paperid=344&option_lang=rus (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[8] Butuzov V.F., Vasilyeva A.B., Nefedov N.N. Asymptotic theory of contrast structures (review). Automation and Remote Control. 1997; 58(7):1068–1091. (In Russian)
[9] Chang K., Howes F. Nonlinear Singularly Perturbed Boundary Value Problems. Theory and applications. M.: Mir, 1988. 247 p. (In Russian)
[10] Nagumo M. Über das Verhalten der Integrals von λy''+f(x,y,y',λ)=0 für λ→0. Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1939; 21:529-534.
[11] Lomov S.A. Lomov I.S. Fundamentals of the mathematical theory of the boundary layer. M.: Publishing House of Moscow University, 2011. 456 p. (In Russian)
[12] Lomov S.A. Introduction to the general theory of singular perturbations. M.: Nauka, 1981. 400 p. (In Russian)
[13] Butuzov V.F., Levashova N.T., Mel'nikova A.A. A steplike contrast structure in a singularly perturbed system of elliptic equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. 53; 9:1239–1259. DOI: 10.1134/S0965542513090054
[14] Butuzov V.F., Denisov I.V. Corner Boundary Layer in Nonlinear Elliptic Problems Containing Derivatives of First Order. Modeling and Analysis of Information Systems. 2014; 21(1):7-31. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=21351116 (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[15] Butuzov V.F., Beloshapko V.A. Singularly perturbed elliptic Dirichlet problem with multiple root of the degenerate equation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016; 23(5):515-528. (In Russian) DOI: 10.18255/1818-1015-2016-5-515-528
[16] Butuzov V.F., Bychkov A.I. Asymptotics of the solution of an initial-boundary value problem for a singularly perturbed parabolic equation in the case of a triple root of a degenerate equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2016; 56(4):593-611. (In Russian) DOI: 10.1134/S0965542516040060
[17] Butuzov V.F. On contrast structures with a multi-zone inner layer. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017; 24(3):288-308. (In Russian) DOI: 10.18255/1818-1015-2017-3-288-308
[18] Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models, based on grid methods. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016; 158(1):012061. DOI: 10.1088/1757-899X/158/1/012061
[19] Tarkhov D., Shershneva E. Approximate analytical solutions of Mathieu's equations based on classical numerical methods. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the XI International Scientific-Practical Conference “Modern Information Technologies and IT-Education” (SITITO 2016). Moscow, Russia, November 25-26. 2016. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 1761. Pр. 356-362. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper46.pdf (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[20] Vasilyev A., Tarkhov D., Shemyakina T. Approximate analytical solutions of ordinary differential equations. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the XI International Scientific-Practical Conference “Modern Information Technologies and IT-Education” (SITITO 2016). Moscow, Russia, November 25-26. 2016. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 1761. Pр. 393-400. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper50.pdf (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[21] Lazovskaya T., Tarkhov D., Vasilyev А. Multi-Layer Solution of Heat Equation. B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (Eds.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. Studies in Computational Intelligence. Vol. 736. Springer International Publishing, 2018. Pp. 17–22. DOI: 10.1007/978-3-319-66604-4_3
[22] Borovskaya O.D., Lazovskaya T.V., Skolis X.V., Tarkhov D.A., Vasilyev A.N. Multilayer parametric models of processes in a porous catalyst pellet. Modern Information Technologies and IT-Education. 2018; 14(1):27-37. DOI: 10.25559/SITITO.14.201801.027-037
[23] Kartavchenko A.E., Tarhov D.A. Comparison of methods for construction of approximate analytical solutions of differential equations on the example of elementary functions. Modern Information Technologies and IT-Education. 2017; 13(3):16-23. (In Russian) DOI: 10.25559/SITITO.2017.3.440
[24] Vasilyev A.N., Svintsov M.V., Tarkhov D.A. Development of analysis of multilayer methods for solving wave equation with special initial conditions. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the 2nd International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’2017). Moscow, Russia: November 24–26, 2017. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 2064. Pp. 393-400. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-2064/paper16.pdf (accessed 21.06.2018). (In Russian)
[25] Tarkhov D.A., Kaverzneva T.T., TereshinV.A., Vinokhodov T.V., Kapitsin D.R., Zulkarnay I.U. New methods of multilayer semiempirical models in nonlinear bending of the cantilever. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the 2nd International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’2017). Moscow, Russia: November 24–26, 2017. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 2064. Pp. 143-149. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-2064/paper17.pdf (accessed 21.06.2018).
[26] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Berminova M.S., Galyautdinova A.R. Semi-empirical Neural Network Model of Real Thread Sagging. B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (Eds.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. Studies in Computational Intelligence. Vol. 736. Springer International Publishing, 2018. Pp. 138–146. DOI: 10.1007/978-3-319-66604-4_21
[27] Zulkarnay I.U., Kaverzneva T.T., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Vinokhodov T.V., Kapitsin D.R. A Two-layer Semi-Empirical Model of Nonlinear Bending of the Cantilevered Beam. IOP Conference Series: Journal of Physics: Conference Series. 2018; 1044(conf. 1):012005. DOI: 10.1088/1742-6596/1044/1/012005
[28] Bortkovskaya M.R., Vasilyev P.I., Zulkarnay I.U., Semenova D.A., Tarkhov D.A., Udalov P.P., Shishkina I.A. Modeling of the membrane bending with multilayer semi-empirical models based on experimental data. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the 2nd International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’2017). Moscow, Russia: November 24–26, 2017. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 2064. Pp. 150-156. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-2064/paper18.pdf (accessed 21.06.2018).
[29] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problem. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987. 482 p. DOI: 10.1007/978-3-662-12607-3
[30] Shalashilin V.I., Kuznetsov E. Parametric Continuation and Optimal Parametrization in Applied Mathematics and Mechanics. Springer Netherlands, 2003. DOI: 10.1007/978-94-017-2537-8
[31] Samoylenko A.M., Ronto N.I. Numerically-analytical methods for investigating solutions of boundary-value problems [Chislenno-analiticheskie metody issledovaniya reshenij kraevyh zadach]. Kiev: Naukova Dumka, 1986. 224 p. (In Russian)
[32] Budkina E.M., Kuznetsov E.B. Solution of boundary value problems for differential algebraic equations. Proceedings of the 11th International Conference on Computational Mechanics and Contemporary Applied Software Systems. M.: Izd-vo MAI, 2015. Pp. 44-46. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24658093 (accessed 21.06.2018). (In Russian)
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
