ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С КОНТРАСТНЫМИ СТРУКТУРАМИ
Аннотация
В статье исследуются особенности численного решения задач Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами (внутренними пограничными слоями). Подобные задачи возникают при моделировании некоторых задач гидродинамики, химической кинетики, теории горения, вычислительной геометрии. Аналитическое решение задач с контрастными структурами удается найти только в исключительных случаях. Численное решение также затруднительно, что связано с плохой обусловленностью уравнений в окрестностях внутренних и пограничных слоев. Для достижения приемлемой точности численного решения необходимо значительно уменьшать шаг интегрирования, что приводит к возрастанию вычислительной сложности. На примере одной тестовой задачи с двумя пограничными и одним внутренним слоями показаны недостатки использования традиционных явных методов Эйлера и Рунге-Кутты 4 порядка точности, а также неявного метода Эйлера с постоянным и переменным шагами интегрирования. Для устранения вычислительных недостатков традиционных методов предложено два подхода. В качестве первого подхода применяется метод наилучшей параметризации, смысл которого состоит в переходе к новому аргументу, отсчитываемому по касательной вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи Коши. Этот метод позволяет получить наилучшим образом обусловленную задачу Коши и устранить вычислительные трудности, возникающие в окрестности внутренних и пограничных слоев. Вторым подходом является полуаналитический способ решения задачи Коши, разрабатываемый в работах А. Н. Васильева, Д. А. Тархова, их учеников и последователей. Данный подход позволяет получить многослойное функциональное решение, которое можно рассматривать как своего рода нелинейную асимптотику. Применительно к решению задач с контрастными структурами полуаналитический метод позволяет получать решение приемлемой точности, даже при высокой жесткости. Проводится анализ используемых методов. Полученные результаты сравниваются с аналитическим решением выбранной тестовой задачи, а также с результатами, представленными в работах других авторов.
Литература
[2] Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegungen bei sehr kleiner Reibung. Verhandl. des III Intern. Mathem. Kongress. Heidelberg, 1904; Leipzig, 1905. Pp. 484-491.
[3] Tikhonov A.N. On systems of differential equations containing parameters. Sbornik: Mathematics. 1950; 27(69)-1:147-156. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5907&option_lang=rus (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[4] Tikhonov A.N. Systems of differential equations containing small parameters for derivatives. Sbornik: Mathematics. 1952; 31(73)-3:575-586. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5548&option_lang=rus (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[5] Vasil'yeva A.B., Butuzov V.F. Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations [Asimptoticheskiye razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy]. Nauka, Moscow, 1973. 274 p. (In Russian)
[6] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asymptotic methods in the theory of singular perturbations [Asimptoticheskie metody v teopii singulyapnyh vozmushchenij]. Higher School, Moscow, 1990. 208 p. (In Russian)
[7] Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbations. Translated from the Russian by J.R. Schulenberger; translation edited by Simeon Ivanov. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1992. 375 p.
[8] Vasil'eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Contrast structures in singularly perturbed problems. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika = Fundamental and Applied Mathematics. 1998; 4(3):799-851. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=fpm&paperid=344&option_lang=rus (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[9] Chang K.W., Howes F.A. Nonlinear Singular Perturbation Phenomena: Theory and Application. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1984. 187 p.
[10] Butuzov V.F., Vasilyeva A.B., Nefedov N.N. Asymptotic theory of contrast structures (review). Automation and Remote Control. 1997; 58(7):1068–1091. (In Russian)
[11] Butuzov V.F., Bychkov A.I. Asymptotics of the solution of an initial-boundary value problem for a singularly perturbed parabolic equation in the case of a triple root of a degenerate equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2016; 56(4):593-611. (In Russian) DOI: 10.1134/S0965542516040060
[12] Antipov E.A., Levashova N.T., Nefedov N.N. Asymptotics of the front motion in the reaction-diffusion-advection problem. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2014; 54(10):1536–1549. DOI: 10.1134/S0965542514100029
[13] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problem. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987. 482 p. DOI: 10.1007/978-3-662-12607-3
[14] Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996. 614 p. DOI: 10.1007/978-3-642-05221-7
[15] Shalashilin V.I., Kuznetsov E. Parametric Continuation and Optimal Parametrization in Applied Mathematics and Mechanics. Springer Netherlands, 2003. DOI: 10.1007/978-94-017-2537-8
[16] Kuznetsov E.B., Leonov S.S. Parametrization of the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations with limiting singular points. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017; 57(6):931-952. DOI: 10.1134/S0965542517060094
[17] Kuznetsov E.B., Leonov S.S. Examples of Parametrization of the Cauchy Problem for Systems of Ordinary Differential Equations with Limiting Singular Points. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2018; 58(6): 881–897. DOI: 10.1134/S0965542518060076
[18] Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models, based on grid methods. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016; 158(1):012061. DOI: 10.1088/1757-899X/158/1/012061
[19] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Berminova M.S., Galyautdinova A.R. Semi-empirical Neural Network Model of Real Thread Sagging. B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (Eds.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. Studies in Computational Intelligence. Vol. 736. Springer International Publishing, 2018. Pp. 138–146. DOI: 10.1007/978-3-319-66604-4_21
[20] Zulkarnay I.U., Kaverzneva T.T., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Vinokhodov T.V., Kapitsin D.R. A Two-layer Semi-Empirical Model of Nonlinear Bending of the Cantilevered Beam. IOP Conference Series: Journal of Physics: Conference Series. 2018; 1044(conf. 1):012005. DOI: 10.1088/1742-6596/1044/1/012005
[21] Bortkovskaya M.R., Vasilyev P.I., Zulkarnay I.U., Semenova D.A., Tarkhov D.A., Udalov P.P., Shishkina I.A. Modeling of the membrane bending with multilayer semi-empirical models based on experimental data. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the 2nd International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’2017). Moscow, Russia: November 24–26, 2017. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 2064. Pp. 150-156. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-2064/paper18.pdf (accessed 04.07.2018).
[22] Vasilyev A., Tarkhov D., Shemyakina T. Approximate analytical solutions of ordinary differential equations. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the XI International Scientific-Practical Conference “Modern Information Technologies and IT-Education” (SITITO 2016). Moscow, Russia, November 25-26. 2016. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 1761. Pр. 393-400. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper50.pdf (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[23] Vasilyev A., Tarkhov D., Bolgov I., Kaverzneva T., Kolesova S., Lazovskaya T., Lukinskiy E., Petrov A., Filkin V. Multilayer neural network models based on experimental data for processes of sample deformation and destruction. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the First International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’2016). Moscow, Russia: November 25–26, 2016. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 1763. Pp. 6-14. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1763/paper01.pdf (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[24] Tarkhov D., Shershneva E. Approximate analytical solutions of Mathieu's equations based on classical numerical methods. V. Sukhomlin, E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe (Eds.) Proceedings of the XI International Scientific-Practical Conference “Modern Information Technologies and IT-Education” (SITITO 2016). Moscow, Russia, November 25-26. 2016. CEUR Workshop Proceedings. Vol. 1761. Pр. 356-362. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-1761/paper46.pdf (accessed 04.07.2018). (In Russian)
[25] Lazovskaya T., Tarkhov D., Vasilyev А. Multi-Layer Solution of Heat Equation. B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko (Eds.) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. Studies in Computational Intelligence. Vol. 736. Springer International Publishing, 2018. Pp. 17–22. DOI: 10.1007/978-3-319-66604-4_3
[26] Belov A.A., Kalitkin N.N. Features of calculating contrast structures in the Cauchy problem. Mathematical Models and Computer Simulations. 2017; 9(3):281-291. DOI: 10.1134/S2070048217030048
[27] Belov A.A., Kalitkin N.N. Numerical Methods of Solving Cauchy Problems with Contrast Structures. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016; 23(5):529-538. (In Russian). DOI: 10.18255/1818-1015-2016-5-529-538
[28] Belov A.A., Kalitkin N.N. Curvature-based grid step selection for stiff Cauchy problems. Mathematical Models and Computer Simulations. 2017; 9(3):305–317. DOI: 10.1134/S207004821703005X
[29] Kalitkin N.N., Al'shin A.B., Al'shina Ye.A., Rogov B.V. Kalitkin N.N., Al'shin A.B., Al'shina E.A., Rogov B.V. Calculations on Quasi-Uniform Grids [Vychisleniya na kvaziravnomernykh setkakh]. Fizmatlit, Moscow, 2005. 224 p. (In Russian)
[30] Arushanyan O.B., Zaletkin S.F. Numerical solution of ordinary differential equations using Fortran [Chislennoye resheniye obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy na Fortrane]. MSU, Moscow, 1990. 336 p. (In Russian)
[31] Verzhbitskiy V.M. Numerical methods (mathematical analysis and ordinary differential equations) [Chislennyye metody. Matematicheskiy analiz i obyknovennyye differentsial'nyye uravneniya]. Vysshaya shkola, Moscow, 2001. 400 p. (In Russian)
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Редакционная политика журнала основывается на традиционных этических принципах российской научной периодики и строится с учетом этических норм работы редакторов и издателей, закрепленных в Кодексе поведения и руководящих принципах наилучшей практики для редактора журнала (Code of Conduct and Best Practice Guidelines for Journal Editors) и Кодексе поведения для издателя журнала (Code of Conduct for Journal Publishers), разработанных Комитетом по публикационной этике - Committee on Publication Ethics (COPE). В процессе издательской деятельности редколлегия журнала руководствуется международными правилами охраны авторского права, нормами действующего законодательства РФ, международными издательскими стандартами и обязательной ссылке на первоисточник.
Журнал позволяет авторам сохранять авторское право без ограничений. Журнал позволяет авторам сохранить права на публикацию без ограничений.
Издательская политика в области авторского права и архивирования определяются «зеленым цветом» в базе данных SHERPA/RoMEO.
Все статьи распространяются на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная, которая позволяет другим использовать, распространять, дополнять эту работу с обязательной ссылкой на оригинальную работу и публикацию в этом журналe.
